>>171
√ は上に凸だから、
　√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x,　　････ (1)
　2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z,　　････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2　より
　x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2),　　　　　　　　　　　　　･････　(3)
(1) 〜 (3) を辺々たす。
　M = 3+√5,
等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき

>>172
　(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね?