不等式への招待 第４章
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0001１３２人目の素数さん
2009/06/15(月) 19:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
過去スレのミラー置き場：http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0153１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 07:24:23いえるなら、
↓みたくいっきにとけたんだけど。
(a + b + c) - (ab + bc + ca)
= (a + b + c) - (4 - abc) (∵与条件)
>= 3√(abc) - (4 -abc) (∵相加相乗平均)
= n^2 +3n -4 ( n = √(abc) とおいた)
= (n + 3/2)^2 - 25/4
ゆえに、
(n + 3/2)^2 - 25/4 >= 0 ・・・（１） を示せばいい
（１）⇔ (n + 3/2) >= 5/2 ⇔ n >= 1 ⇔ abc>=1
で、 abc >=1 なので成立 ■
で、肝心の abc >= 1 がしめせん。
0154153
2009/07/12(日) 07:35:24a +b = p, ab = q と置くと、相加相乗平均より、p>=2√q・・・（１）
与件 ⇔ a.b.c>=0 （・・・（２））∧ c(p + q) + q = 4 ⇔a,b,c>=0∧c = (4-q)/(p+q)
（p + q ≠ 0 ∵ 仮に p + q = 0 ならa = b = 0 となり 与条件に矛盾）
すると、(a + b + c) - (ab + bc + ca) = c(1-p) +(p-q) = {(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q)
よって、{(4-q)(p+q)}/(1-p) + (p-q) >=0 を示せばよい。
で、（１）と（２）を使ってしめせるんじゃまいかな？・・・と思ったけど、
多分どっかで計算ミスしてて、示せない。。。
0155１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 07:42:44云えません。
相加･相乗平均により
t = ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3),
よって
abc > 1 ⇒ t + abc ≧ 3(abc)^(2/3) + abc > 4,
これは題意に矛盾。
0157１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 08:00:17そうかなぁ～。
オリンピックレベルの問題とかではこういう解き方の方がむしろ常套手段だと思うんだけどな…。
0159150
2009/07/12(日) 16:10:30題意から
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1,
そこで ボクは
x = k * a/(a+2),
y = k * b/(b+2),
z = k * c/(c+2),
とおいた。
x+y+z = k > 0,
a = 2x/(k-x) = 2x/(y+z),
b = 2y/(k-y) = 2y/(z+x),
c = 2z/(k-z) = 2z/(x+y),
0160159
2009/07/12(日) 16:18:16(補足) ↑では 恒等式
a/(a+2) + b/(b+2) + c/(c+2) = 1 + 2(ab+bc+ca+abc-4)/{(a+2)(b+2)(c+2)},
を使いますた。
0161１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 17:20:54>>153の相加相乗平均の部分が違う．3数だから立方根だ．
3*(abc)^3となり，同様にnを置くと
n^3 +3n -4 = (n - 1)(n^2 + n +4)
ずばり>>153は勘違いしているな．
A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない．A > 0 > B などを考えれば明らか．
B > 0 ならば A > 0 が言えるが， B <= 0 でも A > 0 の場合はある．
これが今の場合ね．
n < 1 の時，B(=n^3 +3n -4) < 0 だが 既に3例ぐらい証明されているように A[=(a + b + c) - (ab + bc + ca)] > 0．
0162161
2009/07/12(日) 17:27:16最初の段落は「ケアレスミスの指摘」ね，結果的に．
あと後段の
> A > B において B > 0 と A > 0 は関係がない
は言い過ぎた． B > 0 の場合は大いに関係があるわｗｗｗ
「不等号の向き」が違う場合は注意せよ，という話か
0163１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 18:04:00>>159-160 さん補足有り難うございます.
この置き方は, 例えば, USAMO の問題で,
a^2+b^2+c^2+abc=4
という関係式に対して,
a = 2√( (yz) / ((x+y)(x+z)) )
b = 2√( (zx) / ((y+z)(y+x)) )
c = 2√( (xy) / ((z+x)(z+y)) )
という置換をして解く解法があります.
これを知っていたので, 今回の解答はこれを変形して,
bc/a = (2x/(y+z))
という関係と,
a^2+b^2+c^2+abc = (ca/b)(ab/c) + (ab/c)(bc/a) + (bc/a)(ca/b) + (ab/c)(bc/a)(ca/b)
という関係から導きました.
後で調べてみたら,
ab+bc+ca+abc=4 に対して, a = 2x/(y+z), b = 2y/(z+x), c = 2z/(x+y) とおく方法は知られているものでした.
しかし, 形はどうであれ,
(a, b, c) →(f(x), f(y), f(z))
(a, b, c) →(S[x](x, y, z), S[y](x, y, z), S[z](x, y, z))
という置き方は良く行われます.
0164１３２人目の素数さん
2009/07/12(日) 18:09:16その恒等式はどこから出てきたんだ？？
一応
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= 3abc + 4(ab + bc + ca) + 4(a+b+c)
と出てきて，(a+α)(b+β)(c+γ) が関係あると考え，abc の係数を1にするために 与関係式(ab+bc+ca+abc=4 ⇔abc=4-ab-bc-ca)を使うと
abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a+b+c) + 8
= (a+2)(b+2)(c+2)
だから
a(b+2)(c+2) + (a+2)b(c+2) + (a+2)(b+2)c
= (a+2)(b+2)(c+2)
が得られ，両辺(a+2)(b+2)(c+2)で割って =1 の式が出てくるけど．
0165164
2009/07/12(日) 18:11:350166１３２人目の素数さん
2009/07/13(月) 03:50:36照れるぜ！
0167１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 01:49:03http://218.219.144.2/%7Eimg/vip/s/vip20ch78224.jpg
キャバ嬢が好きなエグザイル
http://image.blog.livedoor.jp/dqnplus/imgs/0/5/056ad755.jpg
0168１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 13:59:47閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、これが最良であることも示せ。
0169１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 14:10:000170１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 14:25:00条件に等号があるからそれを使って変数を減らす。
差を変形して変数が１以下と１以上であればいい事を見つける。
条件から１以下の変数と１以上の変数があることを示す。
どの部分が自然じゃない？
0171１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 17:05:47√ ( x ^ 2 + y ^ 2 ) + 2 √ ( y ^ 2 + z ^ 2 ) + 3 √ ( z ^ 2 + x ^ 2 )
≦ M √ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 )
を満たす正の定数Mの最小値を求めよ
0172１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 18:07:51a=√(x^2+y^2),b=√(y^2+z^2),c=√(z^2+z^2)とおくと
0≦a+2b+3c≦M√((a^2+b~2+c^2)/2)
すなわち
(a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
ここでコーシーシュワルツより
(a+2b+3c)^2≦(1^2+2^2+3^2)(a^2+b^2+c^2)
等号はa:b:c=1:2:3で成り立つ
よってM^2/4=14
0173１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 18:11:14× (a+2b+3c)^2≦(M^2/4)(a^2+b^2+c^2)
○ (a+2b+3c)^2≦(M^2/2)(a^2+b^2+c^2)
× M^2/4=14
○ M^2/2=14
0174１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 18:13:30定数 π未満だと不等式が成立しないということ。
つまり、0<C<πとなる任意の C>0 に対して、不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立しない関数ｆ(x)が存在する、ということを示せばよい。
0175１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 18:25:30の等号成立条件を示せばいいってこと？
0176１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 18:28:33違う。
πより小さい定数では、不等式が成立しないことを示すこと。
（つまり、ベスト・コンスタントの問題）
0177１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 19:09:06176にかってに横から追加すると
等号が自明でないfで成り立つならば
>>175 のように等号条件を示しても良いが
ヒルベルトの不等式を用いるならば
等号は自明な場合(f=0)しか成り立たないので
等号条件を示すのは「違う」となる
0178１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 20:36:27ゴリ押しの証明だが一応できた。
ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571189
0179１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 20:45:49ttp://www.csync.net/service/file/view.cgi?id=1247571893
0180１３２人目の素数さん
2009/07/14(火) 21:55:34【問題】 (訂正版)
閉区間[0,1]上の連続関数 f(x)（ただし，恒等的に0でない）にたいして、
a_n = ∫_{0→1} x^n f(x) dx, n=0,1,2,,,,
で数列 {a_n} を定める．
このとき，不等式
Σ_[n=0 →∞] (a_n)^2 ≦ π ∫_{0→1} f^2(x) dx
が成立することを示せ。
また、定数 πが不等式が成立するための最良の定数であることも示せ。
0181１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 03:40:51√ は上に凸だから、
√(x^2 +y^2) + √(z^2 +x^2) ≦ √(x^2 +y^2 +z^2) + x, ････ (1)
2√(y^2 +z^2) + 2√(z^2 +x^2) ≦ 2√(x^2 +y^2 +z^2) + 2z, ････ (2)
5(x^2 + z^2) = (x+2z)^2 + (2x-z)^2 ≧ (x+2z)^2 より
x + 2z ≦ (√5)√(x^2 +y^2 +z^2), ･････ (3)
(1) ～ (3) を辺々たす。
M = 3+√5,
等号成立は x:y:z = 1:0:2 のとき
>>172
(a,b,c) は鋭角三角形条件を満たすんぢゃね?
0183１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 04:30:27a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + abc = 4
のとき
0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2
| x | ≦ 1 のとき
| 4 x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c |
の最大値は1以上であることを示せ
0184１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 05:21:16前半の問題は >>163 の時に言った USAMO の問題です.
いくつか解法がありますが, その一つとして >>163 で言った置き方があります.
他にも解法がありますので, 色々と考えてみると面白いかもしれませんね.
ある程度解法が出尽くしてしまったら, まだ知られていない解法を紹介します.
0185１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 05:34:552log2 + 2log5 + 0.505 ＜ Σ [ k = 1 → 100 ] ( 1 / k ) ＜ 3log2 + 2log5 + 0.005
0187１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 16:19:05つhttp://jp.mathnori.com/
0188１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 16:31:56もうずっと更新されていないよね。
0189１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 16:33:06もうずっと更新されていないよね。
0190１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 22:56:50おいらには解けない５
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116991508/
0191１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 23:30:324x^3 + a･x^2 + bx + c = f(x) とおくと、
f(x) - f(-x) = 8x^3 + 2bx,
{f(1) - f(-1)} -2{f(1/2) - f(-1/2)} = 6,
∴ |f(1)|、|f(-1)|、|f(1/2)|、|f(-1/2)| のいずれかが1以上。
0192１３２人目の素数さん
2009/07/16(木) 00:45:04x > 1 のとき
( logx ) [ log { ( x + 1 ) / ( x - 1 ) } ]
の最大値を求めよ
0193１３２人目の素数さん
2009/07/16(木) 01:51:25{log(1+√2)}^2 (x=1+√2)
0194１３２人目の素数さん
2009/07/16(木) 02:08:10(x+1)/(x-1) = y
とおくと、
(x-1)(y-1) = 2, (直角双曲線)
これは x = y = 1+√2 をとおる。
>>185
log(n) + 0.505 < Σ[k=1→n] (1/k) < log(n) + 0.698
0195191
2009/07/16(木) 22:15:14max{|f(x)| ; -1≦x≦1} = 1 となるのは a=0, b=-3, c=0 のとき
f(x) = 4x^3 -3x = 1 - (1-x)(1+2x)^2 ≦ 1, (x=1, -1/2 で最大値1)
f(x) = 4x^3 -3x = (1+x)(1-2x)^2 -1 ≧ -1, (x=-1, 1/2 で最小値-1)
あるいは
f(x) = -sin(3arcsin(x)),
0196１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 02:42:14http://www.yozemi.ac.jp/NYUSHI/sokuho/recent/okayama/zenki/sugaku_bun/images/mon3_1.gif
0197１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 03:59:50( a + b + c ) ( x + y + z ) = 3
( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 ) ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 ) = 4
のとき
a x + b y + c z > 0
0198１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 05:57:06あえて、行列使うか、
あるいは、xyz空間で、
x+y+z=(a+b+c)/3
x^2+y^2+z^2=(a^2+b^2+c^2)/4
を考えて、
線形計画法でやろうかとおもたけど、むりでした。
0199１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 02:36:28三角形ABCの内心をI、内接円、外接円の半径を順にr,Rとして
r/R≦(AI+BI+CI)/2R≦r/R+1
を示せばよい。
0200１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 02:38:29上の式を２乗する事から始めればできそう。
それか、三次元のベクトル空間に持ち込むか。
0201１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 02:55:21>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = A,
(ｘ･ｅ) = X,
ａ - Aｅ = Ａ_v,
ｘ - Xｅ = Ｘ_v,
とおくと
|Ａ_v| = √(1-A^2),
|Ｘ_v| = √(1-X^2),
|Ａ_v||Ｘ_v| ≦ 1 - (A^2 + X^2)/2 ≦ 1 - AX,
∴ (ａ･ｘ) = AX + (Ａ_v･Ｘ_v) ≧ AX - |Ａ_v||Ｘ_v| ≧ 2AX -1
題意より AX= 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
0202１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 03:10:23>>200 に従い、3個の単位ベクトルを
ａ↑ = (a,b,c) / √(a^2 + b^2 + c^2),
ｘ↑ = (x,y,z) / √(x^2 + y^2 + z^2),
ｅ↑ = (1,1,1) / √3,
とおく。いま
(ａ･ｅ) = cos(∠(ａ,ｅ)) = cosα, (0≦α≦π)
(ｘ･ｅ) = cos(∠(ｘ,ｅ)) = cosθ, (0≦θ≦π)
とおくと
∠(ａ,ｘ)) ≦ ∠(ａ,ｅ) + ∠(ｘ,ｅ) = α + θ,
∴ (ａ･ｘ) = cos(∠(ａ,ｘ)) ≧ cos(α + θ)
= 2(cosα)(cosθ) － cos(α－θ) ≧ 2(cosα)(cosθ) -1,
題意より (cosα)(cosθ) = 1/2 だから
(ａ･ｘ) ≧ 0,
0203１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 04:43:37sinθ/sinφ≧θ/φ
これのうまい証明方法ってありまつか？
0204１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 05:23:21sinx/xが[0,π/2]で単調減少であることを示す
くらいしか思いつかん
0205１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 05:58:03a [ 1 ]= 3 , a [ 2 ] = 5 , a [ 3 ] = 7
( a [ n ] ) ( a [ n + 3 ] ) = ( a [ n + 2 ] ) ^ 2 - ( a [ n + 1 ] ) ^ 2
を満たすとき
| a [ n ] | < 14 / √ 3
a , b , c > 0 , a ^ 2 > b c
のとき
( a ^ 2 - b c ) ^ 2 ≧ k ( b ^ 2 - c a ) ( c ^ 2 - a b )
を満たす最大の k を求む
0206１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 06:10:14いつも俺の方針に従って解いてくれてありがとう(笑)
0207１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 06:17:59２問目は数オリ本選やがな
0208１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 06:21:37涙拭けよ(笑)
0209１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 10:52:08はい。
0210１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 17:00:00（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２－ａｃ）（ｃ＾２－ａｂ）
＝（ａ＾２－ｂｃ）＾２－４（ｂ＾２ｃ＾２＋ａ＾２ｂｃ）＋４ａ（ｂ＾３＋ｃ＾３）
≧（ａ＾２－ｄ＾２）＾２－４（ｄ＾４＋ａ＾２ｄ＾２）＋８ａｄ＾３
＝ａ＾４－６ａ＾２ｄ＾２＋８ａｄ＾３－３ｄ＾４
＝（ａ＋３ｄ）（ａ－ｄ）＾３。
0211１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 22:41:46y=sin(x) は 0<x<π で上に凸ゆえ
sinθ ≧ {(φ-θ)sin(0) + θsinφ}/φ = (θ/φ)sinφ,
0212１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 06:06:31671 < Σ [ k = 1 , 100 ] √ k < 672
0213１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 08:13:08納k=1,n] f(k) = S_n とおく。y=f(x) は上に凸だから
∫[k-1/2,k+1/2] f(x)dx < f(k),
{f(k-1) + f(k)}/2 < ∫[k-1,k] f(x)dx,
ゆえに
∫[1/2,n+1/2] f(x)dx < S_n < (1/2)f(1) + ∫[1,n] f(x)dx + (1/2)f(n),
本題では f(x) = √x なので,
[ (2/3)x^(3/2) ](x=1/2, n+1/2) < S_n < (1/2) + [ (2/3)x^(3/2) ](x=1,n) + (1/2)√n,
(2/3){(n+1/2)^(3/2) - (1/2)^(3/2)} < S_n < (1/2) + (2/3){n^(3/2) -1} + (1/2)√n,
本題では n=100 なので
671.437･･･ < S_100 < 671.50
なお S_100 = 671.462947103148･････
0214１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 19:56:210215１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 21:44:170 < x ≦1 のときは明らか。
x>1 のとき
ビブンのことはビブンでするのもいいが、
log(x) = log(x+1) + log(1 -1/(x+1)) < log(x+1) - 1/(x+1),
log(x+2) = log(x+1) + log(1 +1/(x+1)) < log(x+1) + 1/(x+1),
両辺>0 だから 辺々掛けて
log(x)log(x+2) < {log(x+1)}^2 - {1/(x+1)}^2 < {log(x+1)}^2,
ぬるぽ
0216１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 21:53:59log(x+1) / log(x) > log(x+2) / log(x+1) を示せばいいから
f(x) = log(x+1) / log(x) が単調現象だってことを示せば済む．
つまり
f'(x) = ( x log(x) - (x+1) log(x+1) ) / (x(x+1) (log(x))^2) < 0
を示せばいいが，これは
g(x) = x log(x) が単調増加であることに同値で
g'(x) = log(x) + 1 > 0 より言える
>>215
> x≧1のとき
0217１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 21:59:13x≧1は必要ないってことだろ
>>215
が
0218１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 22:55:17△ABC の3辺の長さを
AB = x+y, BC = y+z, CA = z+x,
とおき >>163 を使うと
AI = √{x(x+y)(x+z)/s} = bcR,
BI = √{y(y+z)(y+x)/s} = caR,
CI = √{z(z+x)(z+y)/s} = abR,
2r = 2√(xyz/s) = abcR,
R = (y+z)(z+x)(x+y)/{4√(xyzs)},
s = x+y+z,
∴ (AI+BI+CI-2r)/R = bc + ca + ab -abc,
0219１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 01:44:45β = sin α , γ = sin β
のとき
( | α | + | γ | ) ≧ 2 β
また π < 3.1416 を用いて
sin ( 1 / 2 ) > 0.4764
0220203
2009/07/20(月) 15:35:18>>203-204 の応用問題でつね。
(上)
sin( ) の周期性から、|α| <π を考えれば十分。
∵ α - [(α+π)/2π]*2π = α' とおくと
|α'| ≦ min(|α|, π)
β = sinα = sin(α'),
・α=nπ のときは明らか(α=0で等号成立)。
・α≠nπ のとき
θ=|β|, φ=|α'| を代入する。
|sinβ| / |β| > |sin(α')| / |α'|,
|γ| / |β| > |β| / |α'|,
|α| + |γ| ≧ |α'| + |γ| > 2√(|α'||γ|) > 2|β| ≧ 2β,
(下)
θ=1/2, φ=π/6 を代入する。
sin(1/2) > 3/(2π) > 0.47746･･･
0221181
2009/07/20(月) 16:32:14a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、
(a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、
pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2},
を満たすMの最小値を求めよ。
(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。
しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。
それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？
(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2),
pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc (← コーシー)
= M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c} {← M = r + √(p^2+q^2)}
≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2 (← δ>0)
≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, (← コーシー)
等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角⊿) のとき。
参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。
0222１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 17:39:56sin 10ﾟ > 0.17 を示せ
多分東大模試の過去問
多分小問付いてたはず
0223１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 18:10:090224１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 18:14:49y=sin(x) は |x| < 90ﾟ で単調増加。
sinα = 0.17 なるαが1つ存在する。
sin(3α) = 0.490348 < 1/2 = sin(30ﾟ),
∴ 3α < 30ﾟ,
∴ α < 10ﾟ,
∴ 0.17 < sin(10ﾟ)
かな？
0225１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 19:43:48| Σ [ k = 1 , n] { a [ k ] sin ( kx ) } | ≦ | sin x |
のとき
| Σ [ k = 1 , n] k a [ k ] | ≦ 1
0226１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 21:21:29f(x)は0≦x≦1において積分可能で、
∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xf(x)dx=1
が成り立つものとする。このとき、
∫[0,1](f(x))^2dx≧4
を証明せよ。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
0227１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 23:45:03携帯でみれるようになりませんかね？
0228１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 23:54:080≦∫[0,1]{f(x)-6x+2}^2dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12∫[0,1]xf(x)dx + 4∫[0,1]f(x)dx + ∫[0,1](36x^2-24x+4)dx
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 12 + 4 + 4
＝∫[0,1]{f(x)}^2dx - 4
移項して
∫[0,1]{f(x)}^2dx ≧ 4
0229１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 06:34:310230１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 07:36:340231228
2009/07/21(火) 07:55:52確かに，引用元に貼ってある解答を見たら，全く同じだった。
どう考えても結局同じ解答に至るということだね。
一般に，g,hを与えられたL^2(Ω)の元，α,βを任意の複素数とするとき，
{ ||f||^2 ∈R | f∈L^2(Ω)，<f,g>=α，<f,h>=β }
の最小元を探す問題は，同様に
|| f- ag - bh ||^2
を最小化する a,b を見つける２次式の問題に帰着される。
0232１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 08:30:59abc=1
(1+ab)/(a+b)+(1+bc)/(b+c)+(1+ca)/(c+a)≧3
0233１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 22:53:03諦めろ！
0234１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 00:24:18{f(x)-6x+2, 2x-1, 1} が直交系････
0235１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 05:43:21ただし2.71<e<2.72。
0236１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 21:12:15↑a=(a[1],a[2],…a[n])
↑x=(x[1],x[2],…x[n])
0<a[1]≦a[2],…≦a[n]
0≦x[i]
↑a･↑x=K>0
のとき
|↑x|を最大,最小にする↑xは何か
0237１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 21:40:33直交性から
∫{f(x)}^2 dx = ∫{f(x)-6x+2}^2 dx + 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx
≧ 9∫(2x-1)^2 dx +∫1^2 dx,
>>235
与式をＩとおく。
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
から
[ x + (1/3)x^3 + (1/10)x^5 ](x=0,1) < Ｉ < [ (√2)log{(√2 +x)/(√2 -x)} - x](x=0,1),
1 + (1/3) + (1/10) < Ｉ < (√2)log{(√2+1)/(√2 -1)} -1,
1.43333････ < Ｉ < 1.49290････
>>236
最小値はコーシーで、 |ｘ↑| ≧ Ｋ/|ａ↑|.
0238235
2009/07/22(水) 22:07:21e^t≧1+t+(t^2/2)+(t^3/6)より
e^(x^2)≧(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)を使う
∫[0,1]e^(x^2)dx
≧∫[0,1]{(1+x^2+(x^4/2)}dx
=43/30
>1.4
∫[0,1]e^(x^2)dx
=e-∫[0,1]2x^2*e^(x^2)dx
≦e-∫[0,1]2x^2*{(1+x^2+(x^4/2)+(x^6/6)}dx
=e-(1178/945)
<2.72-1.22
=1.5
0239１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:45:30鼻高々の金メダリスト達に東大や京大の理系数学の問題を見せて、
数学の本当の恐ろしさというものを思い知らせてやりたいなｗ
俺も立命館の数学科出身だけど、数学を舐めるなと言いたい。
0240１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:45:000241１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:50:41中学レベルの知識で解ける≠中学生レベルの実力で解ける
確かに数学オリンピックは行列や解析が範囲外だったりするが、
知識があるからって簡単に解ける問題ばかりではない。
それにIMOにでるほどの人たちが高校数学程度の知識に
欠けてるってのは考え難い。
東大京大の問題くらいだったら解いてしまうんじゃないかな。
金メダリストたちがこの先大成するかはわからないが、
素直に応援しようじゃないか。
そんなことより、不等式を崇める作業に戻るんだ
0242１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:54:350243241
2009/07/23(木) 01:57:29s=(a+b+c)/2とおく。
三角形の面積を2等分する線分の長さをlとするとき、
l≧√{2(s-a)(s-b)}を示せ。
0245１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 04:41:110246１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 05:30:30cosθ = 12 / 13 のとき
n ﾟ < θ < ( n + 1 ) ﾟ
を満たす整数nを求めよ （早稲田大）
0247１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 09:32:500248１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 16:55:200249１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 22:19:35cosθ = 12/13 より,
cos(4θ) = T_4(cosθ) = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 +1 = -239/(13^4) < 0,
sin(4θ) = U_4(cosθ)sinθ = 1 - 1/(13^4),
4θ -90ﾟ > 0 より
sin(4θ -90ﾟ) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < tan(4θ -90ﾟ),
|cos(4θ)| < (π/180)(4θ -90ﾟ) < |cos(4θ)|/sin(4θ),
239/(13^4) < (π/180)(4θ -90ﾟ) < 239/(13^4 - 1),
0.479454ﾟ < 4θ -90ﾟ < 0.479471ﾟ
22.6198635ﾟ < θ < 22.6198678ﾟ
n = 22
なお、 θ = 22.61986494804042617294901087668･･･
>>237 (中) 補足
1 + t + (1/2)t^2 < e^t < 1 + t/(1 - t/2),
左側: 逐次積分で
e^t -1 >0, (t>0)
e^t -t -1 >0,
e^t -(1/2)t^2 -t -1 >0,
右側:
(e^t - 1)/(e^t + 1) = tanh(t/2) < t/2,
を e^t について解く。
0250１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 23:15:31e = Σ [ k = 0 , ∞ ] ( 1 / k ! )
とする
( 1 )
e < 2.721
( 2 )
log ( 1 + x ) ≦ x / √ ( 1 + x )
( 3 )
1.0317 < e ^ ( 1/32 ) < 1.0318
ただし
2.721 ^ ( 1 / 16 ) < 1.064561
とする
0251１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 17:00:010252１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:00:31■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています