実数x,yがx≧y≧1を満たすとき,次の不等式が成立することを示せ
(x+y-1){log[2](x+y)}≧(x-1)(log[2]x)+(y-1)(log[2]y)+y

a,b,cを正の数とするとき,不等式
2[{(a+b)/2}-(ab)^(1/2)]≦3[{(a+b+c)/3}-(abc)^(1/3)]
を証明せよ.また等号が成立するのはどんな場合か

(1)0≦α＜β≦π/2であるとき,次の不等式を示せ
∫[α,β]sinxdx+∫[(π-β),(π-α)]sinxdx＞(β-α){sinα+sin(π-β)}
(2)Σ[k=1,7]sin(kπ/8)＜16/π

n個(n≧3)の実数a[1],a[2],…,a[n]があり,各a[i]は他のn-1個の相加平均より大きくはないという
このようなa[1],a[2],…,a[n]の組をすべて求めよ。

すべては0でないn個の実数a[1],a[2],…,a[n]があり
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]かつa[1]+a[2]+…+a[n]=0を満たすとき
a[1]+2a[2]+… +na[n]＞0
が成り立つことを証明せよ

nを2以上の整数とする.実数a[1],a[2],…,a[n]に対し,S=a[1]+a[2]+…+a[n]とおく
k=1,2,…,nについて,不等式-1<S-a[k]<1が成り立っているとする
a[1]≦a[2]≦…≦a[n]のとき,すべてのkについて|a[k]|<2が成り立つことを示せ

実数a,b(0≦a<π/4,0≦b<π/4)に対し,次の不等式の成り立つことを示せ
√{(tana)(tanb)}≦tan{(a+b)/2}≦(tana+tanb)/2

f(x)=1-sinxに対し
g(x)=∫[0,x]{(x-t)f(t)}dtとおく
このとき,任意の実数x,yについて
g(x-y)+g(x+y)≧2g(x)
が成り立つことを示せ