ぼくは、あくまで
限りなくｆ（ｘ）がＡに近づくことをlim f(x)＝A（ｘ→a）と
表記するだけで（教科書にもそう書いてあるように）左辺の値とＡが一致する
といっているわけではないと思うんです。（でないと「限りなく近づく」という文と整合性がとれない）
だから、この左辺と右辺は特別な意味はなくて
lim f(x)＝A（ｘ→a）で一つの記号みたいなもの
だと思うんですがいかかでしょうか？