lim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}=0
が成立するような実数定数a.bの値を求めよ

この問題の必要十分って言うのが良くわからないので
質問させてください。解答は以下のようになってます

lim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}=0
⇒lim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}/x=0
であるので
{√(1+2/x) -(a+b/x)}→0
⇔1-a=0
⇔a=1

逆にa=1のとき
lim(x→∞){√(x^2+2x) -(x+b)}
⇔(2-2b)/2
となるので

lim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}=0⇔a=1かつb=1

となっています。
前半部分でlim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}=0ならばa=1
これが言えたのは解るのですが後半部分は
どういう「ならば命題」を示しているのでしょうか?

逆にということは
a=1ならばlim(x→∞){√(x^2+2x) -(x+b)}=0を示しているのかな?
と思ったのですが、lim(x→∞){√(x^2+2x) -(ax+b)}=0⇔a=1かつb=1
という記述を見る限り違いますよね・・・・