求める長さをX、24＝Aとして最初、余弦定理で
X^2＝A^2＋A^2－2A・Acos150°　　整理して
X^2＝(2＋√3)A^2　　A、戻して
X^2＝(2＋√3)24^2　　・・・①
右辺が平方完成できなくて頓挫。

で、加法定理で
cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°
＝(√6＋√2)/4
で、これを
X/2＝24・cos15°　　に代入して
X＝12(√6＋√2)　　・・・②
で久しぶりに解けたけど

①から②へは、
X^2＝(2＋√3)24^2　　24^2から4持ってきて
X^2＝4(2＋√3)12^2　　4を()に入れればA＋B＋2√ABのカタチに！
X^2＝(6＋2＋2√12)12^2　　A＋B＋2√AB＝(√A＋√B)^2
X^2＝(√6＋√2)^2・12^2
X＝12(√6＋√2)
という地道にA＋B＋2√ABのカタチを見付けるしかないんでしょうか？