すべての広義実数列は±∞を含めれば必ず上極限、下極限をもつ

の照明をいくら考えてもわからないのですが、誰か教えてくださらないでしょうか？
めんどくさいなら、証明の方針だけでもいいので教えてください
それと、この証明が載ってるリンク先や本を知っているなら教えていただけると
ありがたいです。（どの本も、必ず上極限、下極限をもつ、しか書いてなくて困っています）

発表しないといけないんです…誰か助けてください。お願いします。