>>459
正三角形の重心は、外心とか内心と同じ点で
△ABCが正三角形だとして
重心をG、BCの中点をMとすれば、AG:GB = 2:1

その正八面体を真上から見ると正方形で
その対角線で4つに区切られた直角二等辺三角形に
側面の正三角形が射影される。

正方形PQBCを考え、PRとQSの交点をA'とすれば
ABCの重心Gは、A'M上の点G'に射影されてて
A'G' : G'M = 2:1
BCの長さをx とすると
A'M = x/2
A'G' = x/3
A'に関してG'と点対象な点G''を取ると
G'G''= (2/3)x で、これは考えている立方体の上面の正方形の対角線
だから、立方体の一辺の長さは((√2)/3) x
これで立方体の体積が分かる。
あとは一辺の長さがxの正八面体の体積を求める。