>>984
像の方は一次独立なベクトルが2つあるので
※ (1 0 2 -1) と (0 1 1 -2)
これが基底となって、次元は2だと言うこと。
f(x,y,z,w)で表されるベクトルは、この2つのベクトルの線形結合で
全て表される。

核の方は
x-y+z+w = 0
x+2z-w = 0
x+y+3z-3w = 0
という連立方程式を満たす点の集合で
変数が4つで、方程式が3つだから全て消えないのは当然なんだけど
できるところまで簡略化してみる。
x = w-2z
y = 2w-z

の2つの式が残る。
なので、2つのパラメータ s, tを用いて
x = s - 2t
y = 2s -t
z = t
w = s
つまり
(x y z w) = s(1 2 0 1) + t (-2 -1 1 0)
と書けるので
(1 2 0 1)と(-2 -1 1 0)
が基底としてとれて　2次元とわかる。