>>765 今しっかり考えてみました。間違ってたらいってください。

f(x)=x^3-xとおく。
f(x)を[b,c]で考える。f(x)は[b,c]で連続である。
ここでａをmin{f(b),f(c)}≦ａ≦max{f(b),f(c)}とする。
中間値の定理より、
b≦t≦cでf(t)=ａとなるようなt∈Ｒが存在する。よって示された。

どうですか？