>>328
マクローリン展開あるいはテイラー展開は
級数展開の一意性があるので
どんな方法でも級数を出してしまえば問題ないのです。

1にしても微分なんて使わずに
1/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+…
においてx を-x^2にしてしまえばその級数になるわけだし

2にしても、

t = arctan(x)
x = tan(t)
dx/dt = 1+tan(t)^2 = 1+x^2

dt/dx = 1/(1+x^2)
というarctan(x)の微分をしっていて
1/(1+x^2)の級数展開が得られていれば
あとは積分するだけよねということなのです。