>>725
以下背理法による略解

ある[a,b]で題意の関数fが存在したとする
a＜c＜d＜b なる有理数 c,dが存在
[c,d]で m＜f(x)＜M なる有理数m,Mが存在
g(x)＝(M−m)(x-c)/(d−c)＋m−f(x)とおく
中間値の定理よりあるα∈[c,d]があって，g(α)＝0