>>5

n>1 のとき、n,n+1,n+2 は 2,3,5 のいずれかを素因数に持つ。
また、gcd{n,n+1} = gcd{n+1,n+2} =1 だから、n+1 は素数べき。
∴ 題意より n+1 は 2^a, 3^b, 5^c　のいずれか。

・n+1 = 2^a のとき
　　n または n+1 は3^b,
・n+1 = 3^b のとき、
　　n,n+2 は偶数。
　　gcd(n,n+2) = 2 より、nまたはn+2は 2^a,
・n+1 = 5^c のとき
　　n,n+2 は偶数。
　　gcd{n,n+2} = 2 より、gcd{n/2, (n+2)/2} =1,
　　{n/2, (n+2)/2} = {2^a, 3^b},

いづれの場合も、不定方程式　3^b -2^a = ±1　に帰着する。
これは Catalan予想 とよばれ、解は
　3^2 - 2^3 = 1,　3^1 - 2^1 =1,　3^1 -2^2 = -1,

∴　n= 1,2,3,4,8.

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1132313250/
Catalan予想
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html