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まづ、k≧2 のとき
　{k/(k-1)}^(k-1) = {1 + 1/(k-1)}^(k-1) < e < {1 + 1/(k-1)}^k = {k/(k-1)}^k,
(証略する.)

k倍して
　(k^k)/(k-1)^(k-1) < ke < k^(k+1)/{(k-1)^k},

k=2〜n で辺々掛けると、
　n^n < n!e^(n-1) < n^(n+1),

∴　e･(n/e)^n < n! < (e^2)･(n/e)^(n+1),