★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
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0001１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 21:11:21解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
0232１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 12:44:32試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
0233232
2009/08/05(水) 12:54:06少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
0234232
2009/08/05(水) 13:06:07(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
0235１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 13:29:30条件が無意味
0236１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 14:17:09ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
0237１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 14:39:49お見事です！
0238１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 17:12:360239１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:35:12して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
0240１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:35:46三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html
0241１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:56:37普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
0242１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 00:31:06見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
0243１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 01:05:19でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
0244１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 01:25:03問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
0245１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 02:12:47三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
0246１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 02:24:35tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
0247１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 12:17:07Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
0248１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 14:18:32lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
0249248
2009/08/06(木) 14:19:22○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
0250１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 15:35:580251１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:10:250252１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:28:51lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
0253１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:33:090254１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:43:500255１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 18:12:26高校の範囲内で厳密に納得できる形でお願いします。
0256１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 21:08:490257１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 23:36:24f(x)は連続関数なので中間値の定理より開区間(k,k+1)にf(x)=0の解が存在しないならばこの区間で常に正または常に負
常に正のとき
この区間でf(x)/(x-k-1)<0となるのでlim[x→k+1]f(x)/(x-k-1)=1の条件に合わない
常に負のとき
この区間でf(x)/(x-k)<0となるのでlim[x→k]f(x)/(x-k)=1の条件に合わない
よってf(x)=0は開区間(k,k+1)に少なくとも1つの解を持つ
0258１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 12:08:31しかし残念ながら問題がしょうもない
0259１３２人目の素数さん
2009/08/07(金) 16:32:190260１３２人目の素数さん
2009/08/09(日) 00:32:12なんでわざわざ
>各k (1≦k≦n) に対して
なんてしてるの？
0261１３２人目の素数さん
2009/08/09(日) 23:55:230262１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 00:09:300263１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 03:31:27Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ|
とΣ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
の大小を比較せよ
0264１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 08:32:02n≧6でn！は360の倍数なのでsin(n！)゜=1-cos(n！)゜=0
だからn=1,2,3,4,5だけ考えたらいいだけだな
出かけるから細かく考える時間がないが後者の方が大きいと思う
0265１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 11:39:471辺の長さが1の正四面体O-ABCがある．この正四面体の辺上を蟻が秒速1で移動し続ける．蟻は分岐点である頂点に辿り着くと，
辿って来たばかりの辺を除いて2つの方向から等確率で1つの方向を選択し，止まる事なく移動し続ける．辺上で進行方向を変える事はない．
頂点Oを出発したn秒後(n=3,4,…)に蟻が頂点Oにいる確率P[n]を求めよ．
0266１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 19:36:25{P(n)}がn≧3で定義される理由がわからんが
P(0)から定義されるとして
P(0)=1,P(1)=0
P(n+2)={1-P(n+1)-P(n)}/2
になるのかな？
この漸化式から一般項求まる？
0267１３２人目の素数さん
2009/08/10(月) 21:25:410268１３２人目の素数さん
2009/08/11(火) 01:15:590269１３２人目の素数さん
2009/08/11(火) 04:30:120270267
2009/08/11(火) 08:12:030271１３２人目の素数さん
2009/08/11(火) 19:56:18(A→O) +（B→O) + (C→O) = P_n,
(O→A) + (O→B) + (O→C) = X_n,
(A⇔B) + (B⇔C) + (C⇔A) = Y_n,
とおくと、
P_(n+1) = (1/2)Y_n,
X_(n+1) = P_n,
Y_(n+1) = X_n + (1/2)Y_n,
P_n + X_n + Y_n = 1,
これより XとYを消して
P_(n+2) = {1 - P_(n+1) - P_n}/2,
0272１３２人目の素数さん
2009/08/11(火) 19:57:59特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は -(1/√2)exp(±iα),
P(n) = 1/4 + (-1/√2)^n･q(n),
とおくと、
q_(n+2) = 2cosα･q_(n+1) - q_n, cosα = 1/√8,
q_n は cos(nα)、sin(nα) の一次式と予測される。
q_0 = 3/4,
q_1 = 1/√8,
q_2 = -1/2,
q_3 = -1/√2,
q_4 = 0,
よって
q_n = (2/√7)sin((n-4)α), sinα = √(7/8),
Yahoo!掲示板 - 科学 - 数学 - 数学・算数質問コーナー(制限版) [ No.034-035]
0273272
2009/08/11(火) 20:03:34特性多項式 t^2 + (1/2)t + (1/2) = (t + 1/4)^2 + 7/16 の根 は
{-1 ±(√7)i}/4 = -(1/√2)exp(±iα), cosα = 1/√8,
0274１３２人目の素数さん
2009/08/12(水) 03:25:22Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))
＞5√2*sin48
を証明せよ
に改題します(>>263より大雑把な)
ちなみに>>264の予想は正解です
0275１３２人目の素数さん
2009/08/12(水) 04:54:00I = ∫[-1,1] x/(2x+4) dx = ∫[-1,1] {(1/2) - 1/(x+2)}dx
= [(x/2) - log(x+2)](x=-1,1)
= 1 - log(3),
x>0 のとき e^x > 1 + x + (1/2)x^2 より
e^0.1 > 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105
e^1.1 = e*e^0.1 > 2.718*1.105 > 3.003
1.1 > log(3)
I > -0.1
0277１３２人目の素数さん
2009/08/12(水) 19:08:56前者 = 1.4296424132676768103829574760386･･･
後者 = 1.5926941248136387984119254841763･･･
差 = 0.1630517115459619880289680081377･･･
>> 274
左辺 = 4.8369482884540380119710319918623･･･
右辺 = 5.2548274549875885325330534402426･･･
0278１３２人目の素数さん
2009/08/12(水) 23:40:13sin(cosx)≦sin(cos(sinx))≦cos(sinx)を示せv
0279１３２人目の素数さん
2009/08/13(木) 01:53:03⇔cosx≦cos(sinx) (∵y=sinxは[-1, 1]で増加関数)
両辺倶に偶関数で, 2πを周期に持ち, 更に[π/2, 3π/2]で
cosx≦0≦cos(sinx)から[0,π/2]で考えればよい。
このときy=cosxは減少関数とからsinx≦x
∴cosx≦cos(sinx)
sin(cos(sinx))≦cos(sinx)
⇔t=cos(sinx), sint≦t
0≦t≦1(∵-1≦sinx≦1)なのでsint≦tは成立
0280１３２人目の素数さん
2009/08/13(木) 14:11:51数値計算して何になる?入試で電卓は使えないぞ
>>263
n=1,2,3,4,5でsin(n!)ﾟ>0,1-cos(n!)ﾟ>0より
Σ[n=1,∞]|sin(n!)ﾟ| <Σ[n=1,∞]|1-cos(n!)゜|
⇔Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)<5
y=sinxﾟ,y=cosxﾟは(0,90)で上に凸から、ジェンセンの不等式より
(sin1ﾟ+sin2ﾟ+sin6ﾟ+sin24ﾟ)/4<sin(33/4)ﾟ
(cos1ﾟ+cos2ﾟ+cos6ﾟ+cos24ﾟ)/4<cos(33/4)ﾟ
Σ[n=1,5](sin(n!)ﾟ+cos(n!)ﾟ)
<4sin(33/4)ﾟ+4cos(33/4)ﾟ+sin120ﾟ+cos120ﾟ
=4√(1+sin(33/2))+√3/2-1/2 (∵(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x)
<4√(1+sin18ﾟ)+√3/2-1/2
=4√(1+(√5-1)/4)+√3/2-1/2
=√10+√2+√3/2-1/2<3.17+1.42+1.74/2-1/2=4.96<5
>>274
Σ[n=1,5](sin(n!)+cos(n!))<5√2*sin48だな
sin48ﾟ>sin45ﾟ=1/√2より明らか
sin48ﾟがどこから出てきたのか教えてほしいな。興味がある
0282１３２人目の素数さん
2009/08/13(木) 22:37:52せめて280を全部読んでからレスしようよ・・・
0283１３２人目の素数さん
2009/08/14(金) 02:29:05正解です
向きの訂正ありがとうございます
sin48は
合成して
√2(sin46+sin47+sin51+sin69+sin15)＜5√2sin48を示すのは
左辺＜√2(3sin48+2sin42)(ジェンセン)
=√2(3sin48+2cos48)
=√2sin48(3+2/tan48)
＜5√2sin48(∵tan48＞1)
出題後にこっちの方が偶然まとまってくれたのでこっちも出してみました
0284１３２人目の素数さん
2009/08/14(金) 03:04:00fn+1_(x)=f(fn_(x))とおく。
この時lim(n→∞)f_n((sinx))は定数関数であることを示せ
明日東大模試だし、早めに寝るか…
0285狂介
2009/08/14(金) 08:07:26すいませんでした
>>284
f_n(x)は[sin(-1),sin(1)]にある。
g(x)=sin(cos(x))とすると、|g '(x)|≦r<1 （[sin(-1),sin(1)]について）
平均値の定理を使った定石より、
|f_n(x)-a|≦r|f_(n-1)(x)-a|≦…≦r^(n-1)|f_1(x)-a|
(a=g(a))
よってlim(n→∞)f_n(x)=a
0286280
2009/08/14(金) 23:42:15すごくきれいに48ﾟが出てきたな、面白い。ただ、合成をつかって
√2(3sin48+2cos48)=√26sin(48+α)≦√26
とした方が強い評価ができていいと思う
a_k=p/(k^2+1)+q/(k^2+2)+r/(k^2+3)+s/(k^2+4)とおくと、
k=1,2,3,4でa_k=1/k^2となった。このとき、a_5を求めよ。
0287１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 09:03:100288１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 11:13:41通分すると、分母は (k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4), 分子は k^2 の3次式だから、
a_k = {(-1/3)(k^2 -4)(k^2 -9)(k^2 -16)a_1 + (28/3)(k^2 -1)(k^2 -9)(k^2 -16)a_2 + (-429/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -16)a_3 + (646/7)(k^2 -1)(k^2 -4)(k^2 -9)a_4}/{(k^2 +1)(k^2 +2)(k^2 +3)(k^2 +4)}
これに a_1 = 1, a_2 = 1/4, a_3 = 1/9, a_4 = 1/16 を代入する。
a_5 = 15/377,
0289１３２人目の素数さん
2009/08/15(土) 18:01:28任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p－1－1/1!－1/2!－．．．－1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．
このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．
0290１３２人目の素数さん
2009/08/18(火) 05:51:03筑波大＞＞東大が証明されました！
筑波大が世界記録を更新＝２兆５０００億けた 東大超え
http://tsushima.2ch.net/test/read.cgi/news/1250496577/
0291１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 00:39:38分からない
0292１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 17:11:16>>286
0293１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 17:29:03q=1 ならできた。
0294284とか
2009/08/19(水) 19:06:00sincosx(m_n≦x≦M_n)について
0≦m_n≦M_n≦1に注意して
m_n≦m_(n+1),M_(n+1)≦M_nを示す
M_(n+1)=sincosm_n…①
m_(n+1)=sincosM_n…②で
M_(n+1)≦M_n
⇔sincosm_n≦sincosm_(n-1)
⇔m_n≧m_(n-1)
⇔sincosM_(n-1)≧sincosM_(n-2)
⇔M_(n-1)≦M_(n-2)より
M_1≧M_2≧M_3かつm_1≦m_2≦m_3を示せば十分で
M_1=sin1,M_2=sin1,M_3=sincossincossin1とm_1=0,m_2=sincossin1,m_3=sincossin1であるから示される。これと①,②より
M_(n+2)＜M_nとm_(n+2)＞m_nなので
M_nは大きくみて単調減少
m_nは大きくみて単調増加
またm_n≦M_nより十分大きなnに対してm_n=M_nである
以上よりfn(x)は最大値=最小値となり定数関数となる
よってxにsinxを入れてfn(sinx)も定数である
(やや周りくどいですが…)
補足でcos(sin(cos…sinx))=cos(sin(cos…cosx))＞sin(cos(sin…sinx))=sin(cos(sin…cosx))です
0295１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 19:07:12ギブ
0296１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 21:17:45p=e のとき
0 < a_n = 納k=0,∞) (n+1)!/(n+1+k)!
= 納k=0,∞) (n+1)!/[(n+1)!(n+2)^k]
< 納k=0,∞) 1/[(n+2)^k)]
= 1/{1 - 1/(n+2)} = (n+2)/(n+1) ≦ 3/2,
p≠e ならば発散する。
いまeが有理数だと仮定すると e=k/n (k,nは自然数)
n!e は自然数。
a_n/(n+1) も自然数。ところが
0 < a_n/(n+1) < 3/(2(n+1)) < 1
となって矛盾。
∴ eは無理数。
∴ e^(1/m) も無理数。
0297１３２人目の素数さん
2009/08/19(水) 23:14:08cos(x)=sin(1/x)を満たすxは無理数であることを示せ
(ただしx≠0)
他のと比べたらかなり簡単
0298１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 05:35:52N.G.
それならすぐ回答レスがついたと思われ
ネピアのマクローリン展開なのはすぐに気が付くだろうし。
> p^q は無理数 ← ∴ e^(1/m) も無理数。
仮にpを無理数である√2と仮定するならば
p^2 = 2 よって有利数となる。
よってeが代数的包体でない、すなわち超越数
であることを示さなければならない。
0299１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 07:30:53素朴な疑問なんですが、eが超越数なら任意の自然数mについてe^mが無理数に
なるのは分かりますが、逆も成り立つんでしょうか？
0300１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 08:12:45これはありなのか？
スレとして
0301１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 09:13:120302301
2009/08/20(木) 11:12:19仮定より,
1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n! ＜ p ＜ 1＋1/1!＋1/2!＋...＋1/n!＋3/(n+1)! ...①
また簡単な微分演算により，
x＞0 で 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n! ＜ e^x
＜ 1＋x/1!＋x^2/2!＋...＋x^n/n!＋x^(n+1)・e^x/(n+1)!...②
②において x＝1 とし，①と挟み撃ちより p＝e．
②において x＝2 とおくと，
1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n! ＜ e^2
＜ 1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^n/n!＋2^(n+1)･e^2/(n+1)!...③
e^2＝k/j (j，k は正の整数) とおけると仮定する．
また m が正の整数のとき (2^m)!＝2^(2^m-1)･N(m) (N(m) は正の整数) とかけるので，
③において n＝2^m (m は正の整数) とし，辺々に j･N(m) をかけると，
j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＜k・N(m)
＜j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!}＋4j・e^2/(2^m+1)...④
ここで j･N(m){1＋2/1!＋2^2/2!＋...＋2^(2^m)/(2^m)!} および k・N(m) は
正の整数で，m を十分大きくすると，0＜4j・e^2/(2^m+1)＜1 とすることができる．
これは④に矛盾する．
# e^m (m≧3) の証明はできない...
0303１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 11:26:30cos(π/2-x)＝sin x とか使って、和積の公式＋背理法で簡単じゃあるまいか？
0304１３２人目の素数さん
2009/08/20(木) 13:20:50実際の入試問題ならこのレベルで十分なのが現実だな。
0305284とか
2009/08/21(金) 20:56:18xy平面において、(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を動く半径rの円(以下自機)と間隔1で線分の長さ1のx軸上に無限に連なり、速さ1でx軸正方向へ流れるワインダーを考える
この時自機が上手くワインダーを通り抜けることで、自機がワインダーにぶつかる(ワインダーと自機が周を除いて共有点をもつ)ことなくワインダーを通りぬけることができた
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
某有名STGやってる時に閃いた問題だけど結構しっかり考えないと解けないと思われ
0306１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 00:04:440307１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 00:53:330308１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 01:06:08【問】
xy平面において
(0,-r)から速さvでy=tanθx-r上を中心が動く半径rの円Cおよびx軸上にあり、長さ1でx軸正方向へ速さ1で動く線分が長さ1の間隔で以下の図のように無限に並んでいる非連続直線Dを考える
…― ― ― ― ―…
この時円Cが上手くDを通り抜けることで、円CがDと内部を共有することなく(ただし、周の共有は許す)(円のy座標)≧rの地点に到達することができたという。
vを定数として、この時考えられる最大のrとその時のcosθの値を求めよ
0309１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 11:27:26問題のせるとマルチ指摘されるのでそちらでといてみてください
0310１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 11:36:00ｘ(1)～ｘ(n)がそれぞれ1～nまでの自然数の値を取るとする(n≧2)
この時|ｘ(1)―ｘ(2)|＋|ｘ(2)―ｘ(3)|＋……＋|ｘ(n-1)―ｘ(n)|＋|ｘ(n)―ｘ(1)|の最小値を求め、そのような値を取るｘ(1)～ｘ(n)の組み合わせの総数を求めよ。
0311１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 12:00:34何で e^3 とかになると急に無理数性の証明が難しくなるんでしょうな。
0312１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 12:20:27e^2の無理性の本質は、テーラー展開と、eの無理性に帰着できる所、にあるから上手くいく
e^3以降だとテーラー展開の形から良い有理数近似が得られないから上手くいかない
0313１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 13:48:290314１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 13:52:46ま、よくある問題ではあるが。
0315１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 14:35:40あることに気付けばすぐできます
0316１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 14:40:01z＝cosx（0≦x≦π/2）
z＝Siny（0≦y≦π/2）
y＝Sinx（0≦x≦π/2）
でかこまれる共通体積を求めよ。
こちらに載せます。
0317１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 14:48:560318１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 14:50:090319１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 18:58:12東大入試作問者になったつもりなら、文章にも気を配ろうよ。
>でかこまれる共通体積
なんて日本語になってないだろ。
0320１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 19:30:000321１３２人目の素数さん
2009/08/22(土) 20:00:34時間返せハゲ
0322１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 08:17:490323１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 09:06:510324かえる
2009/08/23(日) 10:25:36厳密な証明がうまく書けませんが、
１からｎまで上りきってから、ｎから１まで下るのが最小
最小値は２（ｎー１）
最小値をとる場合の数は、１のとり方でｎ通り
２～ｎ－１の（ｎ－２）個の点について、上りで通るか下りで通るかなので、２＾（ｎ－２）通り
よって、ｎ＊（２＾（ｎ－２））通り
0325かえる
2009/08/23(日) 10:32:43１とｎの間を往復しなければならないので、最小値が２（ｎ－１）未満にはなりえない。
ａ（ｋ）＝ｋとすれば、実際に２（ｎ－１）をとる。
よって、最小値は２（ｎ－１）
0326１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 11:03:420327１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 13:56:11そうか？
むしろ京大より東大だろ。もっとも京大と違って亀田みたいにあからさまな元ヤンはいないが。
官庁の役人なんて社会に出たらやって行けないような奴ばっか。
もっとも奴らが社会に出る時すなわち天下りなわけでそんな社会人一年生が赦されてしまうのが学歴社会日本クオリティ。
0328１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 14:17:230329１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 17:53:42一辺が４の立方体が二つあり、両方の中心をxyz座標における原点に固定する。
これらを自由に回転させるとき、二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
ただし最大値の存在があるものとして答えてはいけない。
0330１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 17:57:25正12面体があり、ある面をAとおく。Aを床とくっつける。ここで一回の操作で床にくっついた面に続く5面うちのどれかに転がすという操作をする。このとき、n回目にAが床にくっついている確率を求めよ。
0331１３２人目の素数さん
2009/08/23(日) 17:58:55二つの立方体の体積の最大値を求めよ。
と言われましても、どんだけ回転させても二つの立方体の体積は変わりませんぜ
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