★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
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0001１３２人目の素数さん
2009/05/15(金) 21:11:21解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログは>>2以降
0153１３２人目の素数さん
2009/07/10(金) 23:02:22バカは黙っとけ
0154１３２人目の素数さん
2009/07/10(金) 23:04:15βの好きにさせときなよ
0155べ
2009/07/10(金) 23:38:00nが偶数の時、
a[n]=2+(-2)^n
b[n]=2-(-2)^n
nが奇数の時、
a[n]=2+(-2)^(n+1)
b[n]=2-(-2)^(n+1)
これは？
0156べ
2009/07/10(金) 23:39:11本気で解いたらできるけど、
まぁ問題の核心が分かったんでミスしててもいいでふ
0157１３２人目の素数さん
2009/07/11(土) 07:51:11a_n = 1/(n!)
b_n = 1/(n!+1)
0158１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 08:09:16a は奇数である。
a,b は互いに素である。
a^2 + b^2 = c^2 が成立する。
//-----------------------------------------------------------
以上が全て成り立つとき、
d = √{(a + c)/2} なる d を考える。
dが自然数となる場合があることを示せ。
0159１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 19:56:37a=3,b=4,c=5のときd=2
0160１３２人目の素数さん
2009/07/15(水) 21:48:17m、nが自然数のとき
(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2=(m^2 + n^2)^2 だから
mを偶数、nをmと素な奇数に選らび a=m^2 - n^2、 b=2mn、 c=m^2 + n^2 とすれば
D=(a + c)/2=m^2 だから d=√D=m は自然数
0162１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 00:01:37>> 1 への練習問題
x>3を満たすxとして適切なものを次のうちから全て選べ｡
（つまり、３より大きいと言い切れるものを全て選べ。)
-3 √10 0 99999/33332 2.99 3 π √√26 ∞
3!/2! 10sin17° log20 √7+0.3541 e i [x→3]x
＊とりあえず、分からないものは飛ばして、そうだと思うものだけ全部選んで見る｡
＊電卓禁止。余裕があれば理由も添える事｡
一応あげとく｡
ちょｗｗ数学テスト９点、誰か助けてくれー！
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1243585921/
注意：このスレの“１”は高一
0163１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 00:06:41640:べ 2009/07/09(木) 01:20:01
>> 639
∞は一番大きいという概念だから３より大きいだろ。数とかの次元じゃない｡
0164１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 06:33:26「∞は一番大きいという概念」
そうなんですか？ｂｙリアル高校生
「１番大きい数」というのは、定義できないけど（ですよね？)
「１番大きい」というのもなんか・・・単に言葉のあやで、数学の世界では、別に問題ない表現なんんでしょか？
0165１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 11:32:00∞は数字じゃなくてただの記号
0166１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 18:47:09これ>>163は糞コテの恥レスを晒したものです
アホが伝染するので真面目に受け取らぬ様にお願い致します
0167１３２人目の素数さん
2009/07/17(金) 22:32:53は任意の2以上の自然数a,b,cで成立しないことを示せ
0168べ
2009/07/18(土) 02:00:13１分ぐらいで、しかもちゃんと解いてないから間違ってるかも
mod 4,12での合同式より、b^cが3,11の倍数であることを証明して、
b^c=33kとして与式に代入、
左辺が3の倍数-1、右辺が3の倍数となって、不成立。
とかか？
0169１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 02:05:2112の倍数-1は11の倍数
とかいわないよな
いくらβでも
0170べ
2009/07/18(土) 02:05:33でも眠いんで寝るわ。
0171べ
2009/07/18(土) 17:53:07（まぁ使わなくとも即出せるが）
b^cが12の倍数-1にはならないことを証明する。という所まではいけたが、
証明がなかなかできそうにないので、諦めた
0172べ
2009/07/18(土) 17:53:500173１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 17:55:4611^1 = 12 - 1
12^3 = 12*111 - 1
まー、俺はべ様ほど頭良くないんで間違ってると思うが
0174１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 18:01:070175１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 18:07:090177べ
2009/07/18(土) 18:47:20まず、上は2以上なんだからc=1は間違い。
下は、一致しないぞーい。
やっぱ利用できそうにないか…
0178１３２人目の素数さん
2009/07/18(土) 19:46:3411^3 = 12*111 - 1
0179べ
2009/07/19(日) 00:14:0012の倍数じゃなくて、12*2^nだった…。
111は2^nじゃないと…
合ってる式なんだしそりゃ解けんわな…。
これなら解けそうだな…気力がある時にやってみる。
0180１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 00:23:29a≧3のときは、mod 8で考えて－1≡b^c となるから、もし
c＝2mだとするとb^c≡0,1,4 となり(∵b^2≡0,1,4 (mod 8)しか起こりえない)、
－1≡b^c は起こりえない。
よってc＝2m＋1 (m≧1)ということになる。bが偶数だとすると
b^c≡0となってしまうので、bは奇数となる。最初の式に戻って
3*2^a＝1＋b^c＝(b＋1)(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1) となるが、
bは奇数だから(b^{2m}－b^{2m－1}＋…＋1)も奇数であり、よって
2^a｜(b＋1) ということになる。よってb＋1＝2^a，3*2^a を得る。
b＋1＝3*2^a のときは、3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(3*2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝3*2^a (≧12)
と置いて、x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－3x＋2≦0となり、
よって1≦x≦2となる。しかしx≧12だから矛盾。
b＋1＝2^a のときは、同様に3*2^a＝1＋b^c からbを消去して
3*2^a＝1＋(2^a－1)^c となるが、簡単のためx＝2^a (≧4)
と置いて3x＝1＋(x－1)^c≧1＋(x－1)^2 よりx^2－5x＋2≦0となる。
これを満たす自然数xはx＝1,2,3,4しか無いので、x≧4と合わせて
x＝4を得る。よってa＝2となるが、a＝2の場合は既に見た。
0181べ
2009/07/19(日) 00:32:141+b^cを展開して解くというのはなかなか…。
0182１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 00:53:19b^c+1が3の倍数⇔b+1は3の倍数かつcは奇数
だからb+1=2^mは外せる
0183１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 00:56:55この操作は因数分解って言って展開とは逆操作なんだよ
0185べ
2009/07/19(日) 01:16:30ここには質問者をバカにする連中もいるからな。
0186１３２人目の素数さん
2009/07/19(日) 01:21:060187１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 14:14:230188１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 15:59:08http://changi.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1248194952/l50
0189見方によってはかなりインチキ臭い国際大会
2009/07/24(金) 16:18:15>2009年：1位-中国、2位-日本、3位-ロシア、4位-韓国、5位-北朝鮮、6位-アメリカ
>国際数学オリンピックの引率の先生がラジオで言ってたんだけど、問題は前日に配られて、
>それを言語のできる " その国の引率の先生 " が各自翻訳するらしいです。
>だからと言って生徒に、問題や解答が事前に漏れてるとは言ってませんでしたよ。
前からこの辺りが胡散臭いと思っているんだけど、見方によってはかなりインチキ臭い国際大会。
0190記憶馬鹿には絶対解けない数学問題集
2009/07/24(金) 16:21:234角柱の問題 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/Mobius.html
球体から反射された光線が到達する地点 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/Q-4.html
反転ゲームの最短回数 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/h-1.html
( 縦横とも2n個の時の一般解も出して頂けると、すごいと思います )
アリの戦争 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/b-h.htm
立方体の通路 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/l-1.html
( 頂点から頂点までの通路は、他の通路と交差している交差点があっても直進する )
回転する光の通過速度 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/4-1.html
入れ子になった回転リングの軌跡 → http://www.geocities.jp/eig35153/m-1/ling-1.htm
0191なるべく予備知識無しで解いて欲しい数学難問
2009/07/24(金) 16:24:47問題 : ミサイル曲線
ｘｙ平面の原点に地対空ミサイルが設置されている。 時刻ｔ＝０に上空（０，ｈ）を敵戦闘機が速さｖでｘ軸に平行に
ｘの負の向きに一定の速さｖで飛行している。 このミサイルは常に目標をめがけて一定の速さＶで飛行する。 時刻ｔ＝０で発射されたミサイルの
(１） 軌道を表す曲線の方程式を求めなさい。 (２） 戦闘機が撃墜される時間はいくらか。
ただし ｖ＜Ｖ とする。 戦闘機もミサイルも点と考えてよい。
問題 : 伸びるゴムひも上を移動する虫
1mのゴムひもの左端を固定します。左端に虫をおきスタートと同時に虫がゴム上を5cm/sで歩き、
ゴムひも自体を右端を5cm/sで引き延ばした場合に虫が右端に到達する時間を求めなさい。
問題 : 蛇口から流れ落ちる水流の曲線
水道の蛇口から少量の一定の水を流すと落下につれて水流が細くなってきます。
蛇口の中心から下方へｘ軸、それと垂直方向にｙ軸をとった場合、落下水流の形を示す方程式ｙ＝ｆ（ｘ）を求めなさい。ただし粘性率＝０
Ｓ：蛇口の断面積、 ｖ0：蛇口での流速、 ｇ：重力加速度とします。 また水は自然落下するとします。
0192１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 03:21:563･2^a-1=b^c
についてcを奇数としても一般性を失わない
また左右の偶奇を考えてbは奇数3･2^a=(b+1)(b^(c-1)-…+b^2-b+1)と因数分解され、
(b^(c-1)-…+b^2-b+1)は奇数よりb+1は3･2^a,2^aのどちらかでこの時
b^(c-1)-…+b^2-b+1=3,1
b(b^(c-2)-…+b-1)=2,0
bは3以上で左辺整数だから右辺2は不適。これより
b^(c-2)-…+b-1=0だけだが
b(b^(c-3)-…+1)=1を満たすものは上と同様に考えて存在しない //
出典はVIPの数学wiki
0193１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 03:47:020194１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 12:14:14最小値は 0
0195１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 12:53:11六角形の時が最大か？
0196１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 13:19:30ダウト
0197１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 20:00:00【３】高次元の球と立方体の断面の体積
（１）ボールの不等式
ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．
１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，
その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．
対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，
３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，
辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，
４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，
ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．
ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，
こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は，
高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．
0198１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 01:13:533次元の場合，最小値が1はおかしい
なので何か切り方の条件があるんだろ
0199１３２人目の素数さん
2009/07/26(日) 01:28:170200１３２人目の素数さん
2009/07/28(火) 14:35:460201１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 01:01:250202１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 01:35:470203１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 02:05:09悲しくなるよ
0204１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 08:59:44例 3^960 - 1 を割り切る 2^n の最大値 → n=8
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で…
私は４～５時間かかりましたが現役なら２５～５０分かと。
0205１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 11:36:19解いてて，mの奇偶で分けるだけで意外と楽だなーと思ったが偶の場合がめんどくさく1.5～2時間ぐらいかかったかなｗ
ちょっとミスしても得意だったら，50分以内に解けるか．．．
取り合えず答えだけ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
題意を満たすようなnをn(m)と表記する．
(1) m＝1,3 (mod4)
n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
n(m)＝3
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^l)・k (k∈Z odd)
と表示したlを用いて
n(m)＝l+2
0206１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 12:14:02答えは正解です。
やっぱり証明は長くなりましたか？
>>all
素朴な方法で証明できるので挑戦してみてね！
0207１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 12:41:14今 清書してるが，A4 2枚には収まるかな．．．
(3)の場合がちょっとね
ちなみに
3^a-1＝(3-1){3^(a-1)+3^(a-2)+…+3+1}
を用いて示した
0208１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 14:09:37――――――――――――――――――――――――――――
正しくは以下：
(3) m＝0 (mod4)
m＝(2^2l)・k (l∈N, k∈N odd)
と表示したlを用いて n(m)＝2l+2
――――――――――――――――――――――――――――
l＝0の場合は(1)だし，2kの場合は(2)だから(4^l)kに訂正
kはZ oddでも問題ない(m>0なので)が，一応 正の奇数 なので．
次から解答
0209１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 14:11:25m＝2k-1 ( k∈N ) とおけて，
3^m-1＝3^(2k-1)-1＝(3-1){3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k-1項，つまり奇数項あることに注意しておく．
続けて 3^m-1＝2・{3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-2)+3^(2k-3)+…+3+1＝{3^(2k-3)}{(3+1)+{3^(2k-5)}(3+1)+…+3(3+1)+1}
＝{3^(2k-3)}・4+{3^(2k-5)}・4+…+3・4+1＝1 (mod2)
したがって2でのみ割り切れる ∴ n(m)＝1
(2) m＝2 (mod4)
m＝2k ( k∈N odd) とおけて，
3^m-1＝3^(2k)-1＝(3-1){3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
このとき，2つめの括弧内に数が2k項，つまり偶数項あることに注意しておく．
続けて
3^m-1＝2・{3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1}
ここで第2項について，2項ずつ組にすることにより
3^(2k-1)+3^(2k-2)+…+3+1＝{3^(2k-2)}{(3+1)+{3^(2k-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+(3+1)}
＝{3^(2k-2)}・4+{3^(2k-4)}・4+…+3・4+4
＝4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
∴ 3^m-1＝2・4・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
＝(2^3)・[{3^(2k-2)}+{3^(2k-4)}+…+3+1]
そして， 〔2つめの括弧内〕＝1 (mod2)
∴ n(m)＝3
0210１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 14:12:25m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表せられる
以下，n(m)＝2l+2 であることを帰納法で示す
(i) l＝1
m＝4kより
3^m-1＝3^(4k)-1＝(3^(2k)-1){(3^(2k)+1}
3^(2k)-1＝(2^3)・(奇数) (∵ (2) )
3^(2k)+1＝{3^(2k)-1}+2＝(2^3)・(奇数)+2＝2{(2^2)・(奇数)+1}
∴ 3^m-1＝{(2^3)・(奇数)}×2{(2^2)・(奇数)+1}
＝(2^4)・(奇数)・{(2^2)・(奇数)+1}
∴ n(m)＝4
(ii) 一般のl, l+1のとき
m＝{2^(2l)}・k (l∈N, k∈N odd) と表示出来，過程よりn(m)＝2l+2
l+1のときは, 2m＝{2^(2l+2)}k で
3^2m-1＝(3^m-1)(3^m+1)
3^m-1＝2^(2l+2)(奇数)
3^m+1＝(3^m-1)+2
＝(3-1){3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+2＝2・[{3^(m-1)+3^(m-2)+…+3+1}+1]
同様に2項ずつ組にして
3^m+1＝2・[{3^(m-2)}(3+1)+{3^(m-3)}(3+1)+…+(3^2)・(3+1)+3(3+1)+1+1]
＝(2^2)・(奇数)
3^2m-1＝2^(2l+2)(奇数)・(2^2)・(奇数)＝{2^(2l+4)}・(奇数
∴ n(m)＝2l+4＝2(l+1)+2
よって示された□
0211１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 16:00:02>>205の表現が正解だと思います。
>>208だと、例えばm=8の時、(l、k)を上手く設定できないことになります。
ついでに言うと、(2)と(3)は一緒にしてOKだと思います。
その方が帰納法も楽になるし。
0212１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 16:17:48L(p)=(2^Lがpを割りきるような最大のL)
とする。
以下証明の準備
①L(p*q)=L(p)+L(q)②pが偶数の時
3^p +1=9^(p/2) +1
≡2(mod8)
∴L(3^p +1)=1
③pが奇数の時
3^p +1=9^{(p-1)/2}*3 +1
≡4(mod8)
∴L(3^p +1)=2
で、こっからが本題。
S[2k]=S[k](3^k +1)
より
L(S[2k])=L(S[k])+L(3^k +1)
∴L(S[2k])=L(S[k])+1(kが偶数)
L(S[2k])=L(S[k])+2(kが奇数)
従ってn=2^l*p(pは奇数、l≧1)の時
L(S[n])=l+1+L(S[p])
S[p]=Σ[i=0、p-1]3^i
は、奇数個(p個)の奇数(各3^i)の和なので、奇数
∴L(S[p])=0
以上より
L(S[n])=0(nが奇数)
L(S[n])=l+1
∴L(3^m -1)=L(2)+L(S[m])
=1(mが奇数)
=l+2(mが偶数)
0213１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 16:22:00書くの忘れてるところがあったり、
改行してなかったりで見にくいと思うけど、こんな感じでどうでしょう。
0214204
2009/08/01(土) 17:03:56①f(p^2)=n+1,②奇数qにおいてf(p^q)=nとなることから3^2=1 mod.2^3から出発して帰納的
にもとまります。
①と②の証明は2^nがp-1を割り切る最大値だからp=r*2^n+1 (rは奇数)と置いて
① p^2 = (r*2^n+1)^2 = 1 は mod.2^(n+1) で成立 mod.2^(n+2) で不成立
② p^q = (r*2^n+1)^q = 1 は mod.2^n で成立 mod.2^(n+1) で不成立
※それぞれ二項係数展開して各項を2^n～2^(n+2)で割ればわかります。
mが奇数の場合、3=-1 mod.2^2 → 3^m=(-1)^2 mod.2^2 となって2^2以上で割り切れないため、
2^1が最大。m=奇数 → n=1
mが2の場合、3^2=1 mod.2^3 は明らかで①と②より帰納的に3^(q*2^d)=1 mod 2^(d+2)となり
m=q*2^d → n=d+2
でつ。。。
0215205
2009/08/01(土) 17:21:16解答してる最中に段々いろいろ思い出したｗ
>>205で
>偶の場合がめんどくさく
と書いたが，どうも勝手に勘違いしてめんどくさがってたようでｗ
>>209-210でなぜ4の倍数に拘ったかはよく思い出せんが
2＾16-1＝(2^8-1)(2^8+1)＝(2^8-1){(2^8-1)+2}
といった関係をみて，まず偶数は別ということで，その後なんか思いついたんだろう
>>211
m=8が入らないことに気付けないとは我ながら．．．
さらにmodの扱いも酷い．まあよくこの手の問題でミスしてたから恐る恐る使ってしまったｗ
0216１３２人目の素数さん
2009/08/01(土) 22:35:180217１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 23:06:15実数x≧0 に対して、数列{x_n}を以下で定めます。
x_1=x
x_(n+1)=(x_n)^x
極限lim[n→∞]x_nを求めてください。
0218１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 23:08:220219１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 23:39:31logx_n=y_nとおくとy_1=logx
y_(n+1)=x*y_n
よりy_n=x^(n-1)*logx
・
0<x<1のときlim[n→∞]y_n=0
・x=1のときlim[n→∞]y_n=0
・x>1のとき
logx>0なのでlog[n→∞]y_n=∞
以上より
・0<x≦1のとき
lim[n→∞]x_n=1
・1<xのとき
lim[n→∞]x_n=∞
・また、x=0のとき
lim[n→∞]x_nはx_2以降が定義されない
すげえつまんねーけど問題これであってる？
0220１３２人目の素数さん
2009/08/02(日) 23:49:55x_(n+1)=x^(x_n)
ならもう少し興味深かったかもしれん
いずれにしてもxの範囲から0は外さないと駄目だろ
0221１３２人目の素数さん
2009/08/04(火) 15:07:27ただし0≦α+β≦2πとする
なかなか難問だと思いますが・・・
0222１３２人目の素数さん
2009/08/04(火) 15:37:240223１３２人目の素数さん
2009/08/04(火) 22:15:313つのベクトルa↑,b↑,c↑を次のようにとる
・｜a↑|=a、｜b↑|=b、｜c↑|=c、ただしa,b,cは正でab=1,bc=3/2,ca=2
・a↑とb↑のなす角はα、b↑とc↑のなす角はβ
このとき2cosα+3cosβ+4cos(α+β)=2(a↑・b↑+b↑・c↑+c↑・a↑)
=|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
またa=2√3/3,b=√3/2,c=√3
a↑,b↑,c↑は自由に回転でき、c<a+bなので|a↑+b↑+c↑|=0となるように
a↑,b↑,c↑をとることができる
以上から求める最小値は0-(2√3/3)^2-(√3/2)^2-(√3)^2=-61/12
0224223
2009/08/04(火) 22:31:15＞a↑,b↑,c↑をとることができる
を具体的に補足しておくと
α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑となるのでc↑=-(a↑+b↑)となるようにとれば
|a↑+b↑+c↑|=0
0225223
2009/08/04(火) 22:41:55>>223 5行目
× =|a↑+b↑+c↑|-(a^2+b^2+c^2)
○ =|a↑+b↑+c↑|^2-(a^2+b^2+c^2)
>>224
× α=11/24のとき|a↑+b↑|=c↑
○ cosα=11/24のとき|a↑+b↑|=|c↑|
何度もすまん
0226１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 00:06:04A(0)=O |A(n-1)A(n)↑|=n A(n)A(n+1)↑・A(n-1)A(n)↑＝0
(1)O=A(m)となりうるような自然数mをすべて求めよ.
(2)x軸上のある格子点Pに対して、P=A(N)となりうるような自然数Nが存在することを証明せよ.
(3)A(n)について、どのようなnについても一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ.
0227１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 00:23:18（２）は「ある」じゃなくて「任意の」ではないの？
（３）は「どのようなnについてもA(n)と一致しないようなxy平面上の格子点をすべて求めよ. 」と言いたいのかな。
0228１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 00:25:40すんません。その通りです。アホでごめんなさい
0229１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 01:59:26なにかと思えば>>216の答えだったんだな 、今やってわかった
要所は全て整数になるけどまあめんどくさかった
0231221
2009/08/05(水) 11:01:32試験内だと加法定理とか和積とかでガッツリやってはまっていく人が多いかな？
0232１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 12:44:32試験場では何も考えず微分する人が多いと予想
>>226
長くなりそうなので分割
以下、合同式はすべてmod 8であるとする。
p,qをそれぞれmを超えない最大の奇数、偶数として、
A(m)の座標は(±1±3±5±…±p,±2±4±6…±q) (複合任意),
もしくは上のx,y座標を入れ替えたものとして表される。
(1)±1±3±5±…±pについて、符号が正のものの和と負のものの和が
一致するので、1+3+5+…+pは偶数であり、p≡3,7
±1±3=0とはならず、1-3-5+7=0,1+3+5-7+9-11=0
(2n+1)-(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=0から、帰納的にp≧7なら
±1±3±5±…±p=0となるように符号を定めることができる。
±2±4±6±…±qについても同様に、q≡0,6
p≡3,7よりm≡0,7、すなわち
m=8k,8k-1(kは正の整数)
0233232
2009/08/05(水) 12:54:06少し補足
座標が上の形で表されることについて
A(n-1)A(n)↑≠0↑から、A(n-1)A(n)↑⊥A(n)A(n+1)↑
A(0)A(1)=1から、A(1)として考えられるのは(±1,0),(0,±1)
よってA(n-1)A(n)はx軸,y軸と交互に平行となる。
各々のベクトルの向きを考えれば座標が±1±…±pのようになる
±2±4±6±…±qについて
0となる必要十分条件が、2でくくった後の和が
偶数であることが上と同様に示される
(2)(±1±3±5±…±p,±2±4±6±…±q)において、
y座標を0にできるのはq≡0,6であるから、
p≡1,5,7
このとき、うまくp,および符号を定めればx座標を任意の整数値に
することができることを示せばよい。
p≡1の場合
p=1のとき、1,-1を作ることができる。
-(2n+1)+(2n+3)-(2n+5)+(2n+7)=4から、pを十分大きくとれば、
すべての奇数値をとることができる。
p≡7の場合
1-3-5+7=0,1+3+5-7=2から同様にすべての偶数値をとることができる
0234232
2009/08/05(水) 13:06:07(2s+1,2t+1) (s,tは整数)という点が
A(n)と一致することはない。
これ以外の点がすべてA(n)と一致しうることを示そう。
p≡1のとき、±1±3±5±…±pは任意の奇数値をとる。
このときq≡0,2である。
±2±4±6±…±qが任意の偶数値をとることを示す。
q≡0のとき
2-4-6+8=0,-2+4-6+8=4から、4の倍数の値全体をとる。
q≡2のとき、2,-2を作ることができ、4の倍数でない偶数全体をとる。
p≡7のとき、±1±3±5±…±pは任意の偶数値をとる。
また、p≡3のときも任意の偶数値をとることが示される。
p≡7,q≡0として±2±4±6±…±qは任意の4の倍数をとり、
p≡3,q≡2として任意の、4の倍数でない偶数値をとる。
x座標、y座標の入れ替えを考えて、
少なくとも一方が偶数である格子点はA(n)と一致しうることが示された。
0235１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 13:29:30条件が無意味
0236１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 14:17:09ただし、平均の値とはn個の実数a_i(i=1,,n)についてf(a_1,…,a_n)=f(x,…,x)を満たす実数xのことを指し、
任意のa_1～a_nの値についてそれらをどのように入れ替えてもxはただひとつの同じ値をとるものとする。
また、fは連続であり、定義域はどの変数に対しても全ての実数である。＠v
0237１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 14:39:49お見事です！
0238１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 17:12:360239１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:35:12して書いたつもりですが、確かに無意味ですね
0240１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:35:46三角関数の無理数性に関する問題は定期的に出てくるね。
その手の問題はここにまとめられてるよ。
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51606089.html
0241１３２人目の素数さん
2009/08/05(水) 23:56:37普通の受験生の発想でもいけるんじゃないかな。
三角関数の合成により、
与式=2√(5+4cos(β))cos(α+γ)+3cos(β)≧-2√(5+4cos(β))+3cos(β)が出て
[ここに、cos(γ)=(2+4cos(β)/(2√(5+4cos(β)))、sin(γ)=4sin(β)/(2√(5+4cos(β)))]
A=-2√(5+4cos(β))+3cos(β)とおけば
dA/dβ=sin(β)(-3+4/√(5+4cos(β)))。
ちょっと符号変化を調べるけど、後の括弧の中が0になるβで
Ａは最小値 -61/12をとることが分かる。
0242１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 00:31:06見たけど間接的な証明だね。
tan の場合は直接的な証明は無いものか。
0243１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 01:05:19でも>>223の解法は、これいただき、使わせてもらおって感じだ
技巧に走っているわけでもないし使えそう
0244１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 01:25:03問題を作ったときはベクトルでの方法しか頭になくて他の方法を試してませんでした
もう少し複雑にする必要がありますかね・・・
0245１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 02:12:47三角関数の最小問題である以上三角関数の微分でできないようにはできないだろ、多分
良問だしいい解法だと思ったがそれ以上の作為を入れると多分しょうもない問題になる
0246１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 02:24:35tan(π/n)が有理数であるとする。
nが奇素数pを素因数に持つとき、p=2l+1とすれば1≦k≦lなる整数kで
tan(kπ/p)は全て有理数となるが
Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√pより矛盾。
n=2^m (m≧2)とすると、1≦j≦m-1なる整数jで
cos(π/2^j)が全て有理数となるが、cos(π/4)が無理数なので
条件にあう可能性のあるnは4のみ。
0247１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 12:17:07Π[k=1_l]tan(kπ/p)=√p
の部分はどうやったんですか？
解と係数の関係か何かですか？
0248１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 14:18:32lim[x→k]f(x)/(x-k)＝1
を満たすとき，方程式 f(x)＝0 は各開区間 (k，k+1) (1≦k≦n-1)
で少なくとも１つの実数解をもつことを示せ．
ただし n は与えれれた正の整数とする．
0249248
2009/08/06(木) 14:19:22○ 実数全体で定義された連続関数 f(x)
0250１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 15:35:580251１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:10:250252１３２人目の素数さん
2009/08/06(木) 17:28:51lim[x→k-0]f(x)/(x-k)＝m[x→k+0]f(x)/(x-k)=1
lim[x→k+1-0]f(x)/(x-k-1)＝m[x→k+1+0]f(x)/(x-1)=1
より
f(k+α)>0,f(k+1-α)<0 (ただしαは絶対値の極めて小さい正の数)
→中間値の定理より命題は成り立つ
なんか論証甘いか？
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