E(X) = Σ_i (X_i)・(p_i)
とでもおけば、分散V(X)の定義より
V(X) = Σ_i { X_i - E(X) }^2 ・ (p_i)　…(1)
で、{ X_i - E(X) }^2 >= 0 (実数の二乗は0または正の実数だから)
かつ p_i >= 0 (確率の非負性) より 分散V(X) >= 0。
(1)の右辺の二乗を展開して整理すれば
V(X) = （省略）
となるから
（省略）