伝統的にはそうやって導くのですか。
X= 11 + 15*(k-1)
Y= 11 - 41*k
でも同じなんです。

それで、
X = -4+15k , Y = 11-41k　
ですが、このとき与式を満たす[-4,11]は
任意整数のkが存在する場合においてのみ「一意」と考えるべきなのでしょうか。
つまり
X= 11 + 15*(k-1), Y= 11 - 41*k
などと[x,y]を導出するための式は容易に変形できますが、
その基本形
X = -4+15k , Y = 11-41k　
（この専門数学用語を知りませんが）は、
このX, Yの２式連立を解くための[-4,11]の組このときただ一つである、
つまり与式を満たす剰余[-4,11]の組はただ一つということを主張しているのでしょうか？

もしくは与式を満たす[x,y]の組が一意でないなら、その組の出し方が他にあるということなのでしょうか。
もう一つ -41*k となっていますが、41*(-k)ということでしょうか、
それともmod -41や割る数が負数でも可能なように拡張している(A ÷ -41)ということなのでしょうか。