極限の命題の質問です。

「単調減少である数列{a_1､a_2､…､a_n､…}があって、∃(k,I)；{∀n(n∈Ｎ,k＜n)；I＜a_n} となっている。
⇒
n→∞のときa_nは収束する。」

及び、

「単調増加である数列{a_1､a_2､…､a_n､…}があって、∃(k,S)；{∀n(n∈Ｎ,k＜n)；a_n＜S} となっている。
⇒
n→∞のときa_nは収束する。」

ということは知っているんですが、これに対して、

「区間x＜a上の関数fがあって、f(x)は単調減少し、∃(k,I)(k＜a)；{∀x(k＜x＜a)；I＜f(x) となっている。
ならば
x→aのときf(x)は収束する。
（aは∞でもよいものとする。）」

及び、

「区間x＜a上の関数fがあって、f(x)は単調増加し、∃(k,S)(k＜a)；{∀x(k＜x＜a)；f(x)＜S となっている。
ならば
x→aのときf(x)は収束する。
（aは∞でもよいものとする。）」

という２つの命題は真でしょうか？
結果だけでもよいのでお願いします。