ある本に出ていたベクトル３重積の公式
a*(b*c)=(a･c)b-(a･b)c
(ただしabcは三次の実ベクトルで*は外積、･は内積を表す)
の証明の途中で分からないことがあります。

左辺がbとcの一次結合でかけることから
sb+tc　(ただしstは実数)
と表せて、さらにaとの内積を考えることで元の左辺が右辺の定数倍(k倍とする)で表される。
ここまでは分かりましたが、その後でkは定数だから適当なベクトルを代入すればよく、abcに(1,0,0)(1,0,0)(0,1,0)を代入した結果k=1になると続くところが分かりません。

kはあるベクトルabcに対して定数であることは分かるのですが、それがabcによらない定数になっていることが分かりません。
たとえば、k=a･bと表されているようなことはないか(これでも上の具体例を代入したものとは一致します)、といったことが頭に浮かんでしまうのです。
もちろんこれには簡単に反例が見つかりますし、k=1であることは正しいのだろうと思うのですが、この証明だとこの場合のような可能性が排除できないのではないかと思えてしまうのです。

たぶん馬鹿な勘違いなのだろうとは思うのですが、何度考えても分からないので、どうか教えてください。
よろしくお願いします。