質問させて下さい。

関数f(x)=x^3-3x^2+3kx-3が極大値と極小値をもち、その差が32であるという。実数kの値を求めよ。

普通に微分してやれば出来るのですが積分を使った解法で
f'(x)=0の二解をα、β(α<β)とすると極値の差はf(α)-f(β)=∫[β，α]f'(x)dxとしているのですが導関数を積分する意味がよくわかりません。
自分なりに考えてはみたのですがy座標の差を求めているはずなのに導関数積分したら面積になってしまうのでは？とこんがらがって来ました。