>>595
とりあえずクソ真面目に展開してやってみたが・・・

（左辺）-（右辺）=((1+x^(1/2))/2)^2 - ((1+x^(1/3))/2)^3
　　　　　　　　　 =(1+2x^(1/2)+x)/4 - (1+3x^(1/3)+3x^(2/3)+x)/8
　　　　　　　　　　={(2+4x^(1/2)+2x) - (1+3x^(1/3)+3x^(2/3)+x)}/8

ここで、　（分子）=1-3x^(1/3)-3x^(2/3)+x+4x^(1/2)>=0　を示す。


となって手が止まった。すまん、展開して非負の和・積を導くのは難しいと思うわ。