x⊆（A×C）∩（B×D）を任意に取る
すると、x⊆A×Cであるから
x=(x1、y1)となるx1⊆A、y1⊆Cが存在する
またx⊆B×Dでもあるから
x1⊆B、y1⊆Dである
つまり、x1⊆A∩B　y1⊆C∩D
よってx=(x1、y1)⊆(A∩B)×(C∩D)
xは任意だったので
（A×C）∩（B×D）⊆(A∩B)×(C∩D)が成立する