>>11 の問題をよく読むと、fはA上ではなくX上でしか定義されてないんだな。
じゃあ、
Aを一点からなる位相空間、Bを実数Rに通常の位相を入れた空間として、
X=A、Y={0}、とすればf:X→Yは全単射、同相で、しかもYはB内で開集合ではない。
とかでオッケーなのか？