10^nを7で割ったあまりをpnとするとp(n+6)=p(n) (nは自然数)
であることを数学的帰納法を用いて示しなさい
という問題で以下のように答えました

2つの整数a.bを7でわった余りが等しくなるとき
a≡b(mod7)と書く。
a≡b(mod7),c≡d(mod7)のとき (c.dは整数)
a=7q(1)+r,b=7q(2)+r、c=7k(1)+s、d=7k(2)+sなので
a±c=7(q(1)±k(1))+r±s、b±d=7(q(2)±k(2))+r±s
ac=7(7q(1)k(1)+q(1)s+rk(1))+rs
bd=7(7q(2)k(2)+q(2)s+rk(2))+rsより
a±c≡b±d (mod7) ac±bd(mod7)

1)n=1のとき
(7+3)^7≡3^7≡(3^6*3)≡(728+1)×3≡3(mod7)
10≡3(mod7)
より、確かに成立する。

2)n=kのとき10^(k+6)≡10^k (mod7)と仮定して
10^(k+7)≡10^(k+6)×10≡10^k×10≡10^(k+1)(mod7)
なのでn=k+1のときも成立する

数学的帰納法により示された


と書いて点がなかったのですがどこか議論や証明が致命的に間違っていますでしょうか?