(1+i)(z-1) / z が実数をなるような複素数 z の軌跡を求めよ。

注: 共役複素数は>>1-4のテンプレにないようなので'~'で記述します
　　正しい書き方があれば教えてください

[別解]
実数条件より
(1+i)(z-1) / z = { ~(1+i)}{~(z-1) } / ~z

(1+i)(z-1) / z = (1-i)(~z-1) / ~z となるから、
~z について解くと
~z = { (1+i)/2 }･z / { z - (1-i)/2 }　　　←問題の箇所
= (1+i)/2 + (1/2) / { z - (1-i)/2 }
よって
(z - (1-i)/2)(~z - (1+i)/2) = 1/2
(z - (1-i)/2){ ~(z - (1-i)/2) } = 1/2
ゆえに
| z - (1-i)/2 | = 1/√2 (円、原点を除く)

…とあるんですが、
(1+i)(z-1) / z = (1-i)(~z-1) / ~z
が
~z = { (1+i)/2 }･z / { z - (1-i)/2 }
になる過程が分かりません。

続く