先日、某国公立大学の入試問題で
　　n_C_1+3*n_C_2+3*n_C_3+n_C_4
の計算をする必要があったので、すべてnの多項式に直して計算したところ、
　　n_C_1+3*n_C_2+3*n_C_3+n_C_4=(n+3)_C_4
というキレイな解答が得られました。この結果にプチ感動したので、
　　n_C_1+2*n_C_2+n_C_3
を試しに計算したところ、
　　n_C_1+2*n_C_2+n_C_3=(n+2)_C_3
となりました。どうやら
　　Σ[k=0,m]m_C_k*n_C_(k+1)=(n+m)_C_(m+1)
が成り立つようなのですが、うまく証明できません。
どなたかお願いします。