ちょっと因数定理まわりの解法に関して、質問させてください。

Q: 多項式P(x)を(x-1)(x-2)で割ると3余り、(x-3)(x-1)で割ると3x余る。
P(x)を(x-2)(x-3) で割ったときの余りを求めよ
模範解答(?)
P(x)=(x-1)(x-2)Q_1(x)+3と書けて、P(2)=3
P(x)=(x-3)(x-1)Q_2(x)+3xと書けて、P(3)=9
P(x)=(x-2)(x-3)Q_3(x)+bx+cと書けるとすると、
上記の値から2b+c=3、3b+c=9
これを解いてb=6、c=-9となり、求める余りは6ｘ-9

疑問点：ここで終わりにすると、余りa,bに関しての必要条件だけを求めた
ことになるのではないか。それで解答としては瑕疵がないといえるのだろうか。

実際、「(x-1)(x-2)で割ると3余り」の代わりに「6余り」という設定で考えると、
上記解法をそのままなぞる形でa=3、b=0という「答え」が出てきます。が、
このようなP(x)はP(1)=6=3を満たさねばならず、実際には存在しません。

そうした可能性をちゃんと排除できない「解法」は有効なのか、ということです。
(無論、センター等の穴埋めだけできればいいスタイルの試験は想定して
いません。記述の試験で、という話です)