0≦θ≦90°のとき
cosθ(sinθ+cosθ)の最大値とそのときのθの値を求めよ

という問題なんですがどう解けばいいでしょうか?
とりあえず
√2cosθcos(θ-45°)
=(√2/2){cos(2θ-45°)+cos45°}
=√2/2cos(2θ-45°)+(1/2)

-45°≦2θ-45°≦135°
なので
2θ-45°=0
つまりθ=22.5°のとき最大値√2/2+1/2

となったのですが
解答はθ=45°のとき最大値1となっていて
どうも違うようです。お願いいたします