次の極限値を定積分の記号を用いて表し、その値を求めよ。

lim[n→∞] 1/n { n(n+1)...(2n-1) }^(1/n)

[解]
与式 = log { (n/n)( (n+1)/n )...( (n+n-1)/n ) }^(1/n)
= 1/n Σ[k=0, n-1] log (1 + k/n)

…となっているんですが、
logが導入されている理由が分かりません。
一度lim[n→∞]が消えて再度lim[n→∞]が復活しているのも不思議です。

{ }^(1/n) の中の分母が n になっているということは
n^(1/n) で割ったという証拠なんでしょうけど
lim[n→∞] 1/(n・n^(1/n)) { (n/n)( (n+1)/n )...( (n+n-1)/n ) }^(1/n)
が
log { (n/n)( (n+1)/n )...( (n+n-1)/n ) }^(1/n)
になるんでしょうか？
どなたか説明をお願いします。