>>667
二次体を使わない証明は知らないけど、一応のっけとく。


以下で単に整数や素数というときそれはガウス整数環Z[i]における整数、素数とする。

u=a+bi|pとなる素数uを考える。またp=uvとする。
このときN(p)=N(u)N(v)⇒p^2=N(u)N(v)⇒N(u)=pまたはp^2
N(u)=p^2と仮定するとN(v)=1よりvは単数であり,pはuの同伴であり、素数である。
平方剰余の第一補充則よりp|n^2+1となる整数nが存在する。
ゆえにp|(n+i)(n-i)だがpは素数で(n±i)/pは整数にならないので矛盾する。
よってN(u)=N(v)=pであってu=a+bi,v=a-bi
従ってp=uv=a^2+b^2