a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca
これを因数分解します。

まず　(a-b)^2+c^2+2bc-2ca　までいきます。
次に
(a-b)^2 +2(bc-ca) +c^2とするか
(a-b)^2 -2(ca-bc) +c^2とするかで大きな違いがでます。

A^2-2AB+B^2の公式にはめるか、A^2+2AB+B^2の公式にはめるかで答えが出るか出ないかの分かれ道です。
この問題の場合は答えが(a-b-c)^2になるので、(a-b)^2 -2(ca-bc) +c^2としておくのが正解に近いんだと思います。

昨日因数分解は基本公式にあてはめろと教えて頂いたので、てっきり公式にはまれば答えまで一直線かと思っていましたが、
実は公式にはまっても最終的には展開をして確認をしなければいけないということなのでしょうか？
それとも何かルールを適用すれば必ずこの問題の場合に(a-b)^2 -2(ca-bc) +c^2もたどり着くなどのテクニックがあるのでしょうか？

どうぞ宜しくお願いします。