座標平面上を運動する点Pの出発してからt秒後の座標(x, y)が
x = t^3 + 2
y = 6t^2
であるとき、出発後3秒間に通過する道のりを求めよ。

[解]
L = ∫[0, 3] √{ (9t^4 + 144t^2) } dt
= ∫[0, 3] 3t √{ t^2 + 16 } dt

[t^2 + 16 = u とおく]
∫[16, 25] 3/2 u^(1/2) du
= 61

…とあるんですが、
t^2 + 16 = u とおいてから t をいつ置換したらいいのかとか
∫[16, 25]を書くタイミングとかがいまいち分かりません。

というのは分かります。

t^2 + 16 = u
du/dt = (t^2 + 16)' = 2t
t = (1/2)(du/dt)
3^2 + 16 = 25、0^2 + 16 = 16

∫[0, 3] 3t √{ t^2 + 16 } dt
=∫[16, 25] 3t √u dt/du du
=∫[16, 25] 3{ (1/2)(du/dt) } √u dt/du du
=∫[16, 25] 3/2 (du/dt)(dt/du) √u du
=∫[16, 25] 3/2 (1/1) √u du
=∫[16, 25] 3/2 √u du
=∫[16, 25] 3/2 u^(1/2) du
という書き方で合っていますか？