>>33 やや感覚的かもしれないが、こんなのでどうだろうか。
直線ACと平行で、かつ直線BDと交わる直線l_1を考えることができる。
l_1とBDがともに含まれるある平面がこれにより決定でき、この平面をp_1とする。

同様に、直線BDと平行で、かつ直線ACと交わる直線l_2を考えることができる。
l_2とACがともに含まれるある平面がこれにより決定でき、この平面をp_2とする。

p_1は仮定より、ともに平面p_2に含まれる直線AC、およびl_2と平行である。
ここでACとl_2は平行ではないから(平行だとしたらACとBDが平行になり、
A,B,C,Dが同一平面に含まれない4点であるという仮定に反する）、
平面p_1とp_2は平行である。この平面p_1がβ、p_2がαである。