> この距離は明らかに、l がPQと円Cの中心をはさむ位置でCに接するときが最大に
> なる
ここだけ取り出して座標とは独立に議論してみようか。

円Cに対して中心を通らない（これは問題の設定から）弦PQがある。
考えているのは「円と共有点を持つPQの平行線 ｌ こちらは直線）のうち、
PQとの距離が最大になるのはどんなものであるか。

これはｌがPQと平行な接線の遠い側になる時だが
あなたが納得できないのは「この事実そのもの」なのか、それとも
「この事実を自明とすること」なのか。

これを認めてしまえば、弦PQの垂直二等分線は円Cの中心を
通る（∵円の中心もCと呼べば、△CQPは二等辺三角形）こと、
円のある点の接線はその点で円の半径と直交することから、
PQの中点、C、Rは一直線上に並ぶ。PQの傾きが2なのだから
CRの傾きは-1/2。