未熟ながら書き込ませていただきます

S(n)=S(n)
S(n+1)=S(n)+ 1/(n+1)
S(n+2)=S(n)+ 1/(n+1) + 1/(n+2)
S(n+3)=S(n)+ 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)
S(n+4)=S(n)+ 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4)
　　　・・・
S(2n-1)=S(n)+ 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4)+　・・・+　1/(2n-1)

それぞれの項を足し合わせて S(n)はｎ個　1/(n+k)はn-k個あるから
T(n)=S(n)+ 1/n Σ(n-k)/(n+k) (1≦k≦n-1)
T(n)-S(n)=1/n Σ(1-k/n)/(1+k/n)
n→∞の時区分求積法より
∫(1-x)/(1+x)dx　0→1　あとは単純計算