Let p and q be distinct prime numbers. Suppose that H is a proper subset of the integers and that (H,+) is a group that contains exactly three elements of the set {p,p+q,pq,p^q,q^p}, Determine the three elements in H.

という問題です。
H=2Z={2z∈Z;z∈Z}でp=2,q=3とすればp,pq,p^qが求める3つの元になりますが一般の場合にはどのようにして
p,pq,p^qであることを示せばいいのでしょうか?