皆さんの聡明な知力で解決してもらいたい事があります。
今回の模試の大門3で以下の様な問題がありました。実数xとyは等式y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x=0を満たす
(2)xの値の範囲を求めよ。という問題です。(1)ではyの値の範囲を求め、
答えは-√2/4≦y≦√2/4が得られました。
(2)で僕は、F(x)= y^4+2y^2 x+x^2+y^2-x　と置きxについて整理し平方完成をしてF(x)=｛x+(2y^2-1)/2｝^2+ (8y^2-1)/4を導きました。
F(x)をy軸xをx軸にとってグラフを書くと、
頂点(- (2y^2-1)/2, (8y^2-1)/4)となりますよね。
ここで,(1)で出したyの値の範囲よりF(y)=- (2y^2-1)/2として- (2y^2-1)/2の範囲、即ちF(x)の頂点の取りうる値(x方向)の範囲を出し、結果が3/8≦F(y)≦1/2となりました。
（ここで僕は焦ってこれを解としてしまいましたが・・・）部分点貰えますかね？
また,F(y’)= (8y^2-1)/4)とおいて同様にしてF(x)の頂点の取りうる値（y軸方向）の範囲を出しその結果が0≦F(y’)≦-1/4となりました。以上より、F(x)の頂点の範囲が定まった事になったはずです。
その範囲の中でF(x)=0となる最小のxと最大のxを求めればxの取り得る値の範囲を求めた事になりますよね？
グラフを書けば一目瞭然ですがF(x)=0即ちグラフがx軸と接する値が最小となるのは先程求めた範囲の中ではF(y)=3/8 F(y’)=-1/4 の時であります。
言い換えると(x-3/8)^2 -1/4=0の時のxの値が最小でありx=-1/8 7/8であり,勿論適するのはx=-1/8
又、同様にして最大となるのはF(y)=1/2 F(y’)=-1/4であり、言い換えると(x-1/2)^2 -1/4=0の時の0の値でx=0,1で勿論適するのはx=1である。
以上より求めるxの値の範囲は−1/8≦x≦1である。
と僕の理論ではなる訳ですが解答は0≦x≦1でした。僕の考えの何処に欠陥があるかご指摘願います。長文失敬