複素数についての質問です。

｜ｚ－１｜＝｜ｚ－i｜
の性質を持つ点はどのような性質を持つか。

と言う問題で、答えは直線x=yということなのですが答えにたどり着けません；

取り合えず二乗して移項し
x+y-(x-y)i=1・・・①
だから虚数単位を含む(x-y)i=0よりx=y・・・②なのかと考えたのですが
それだと①と②からx=0.5、y=0.5しか答えにならないように思えたのですが
①のx+yの部分は関係ないのでしょうか。それとも根本から違っているでしょうか。
おしえていただけると助かります。