y/x+z/y+x/z=10

とりあえず　xyz をかけるとか
xy+yz+zx=10xyz
それで　おもむろに　modxしてみる
yz=0 mod x

gcd(x,y,z)=1 だから　x=myz gcd(y,z)=1 gcd(m,y,z)=1

x(y+z+1/m)m=10x^2
10x=m(y+z)+1
y+z=(10x-1)/m
yz=x/m