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高校数学の極限の公理系を考える

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0001１３２人目の素数さん

2009/02/01(日) 22:52:10

高校数学では極限の定義が厳密に与えられていないわけですが
せめて高校数学で使ってよい極限(操作)の公理系を考えましょう。

(0)
(+∞) + c = +∞, (+∞) * c = +∞ (∀c > -∞)
(-∞) + c = -∞, (-∞) * c = -∞ (∀c < +∞)
1/(+∞) = 0

(1)
lim[x→a]f(x)∈R∪{±∞}, lim[x→a]g(x)∈R∪{±∞}
(ただし(lim[x→a]f(x), lim[x→a]g(x)) ≠ (+∞,-∞),(-∞,+∞)) ならば、
lim[x→a](f(x)+g(x)) = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x)
lim[x→a]f(x)g(x) = lim[x→a]f(x) * lim[x→a]g(x)

(2)
lim[x→a]f(x) ∈R∪{±∞}ならば、∀c∈Rに対して
lim[x→a]cf(x) = c*lim[x→a]f(x)

(3) lim[x→a] x = a

足りないと思われる公理を追加していってください↓

00021

2009/02/01(日) 22:56:58

1/+0 についての公理を入れなくても
lim[x→0]1/|x| = +∞ を導けるか。
しかし+0の扱いはやっかいそうだ。

0003１３２人目の素数さん

2009/02/01(日) 23:30:55

(+∞) * c = +∞ (∀c > -∞)
だうと

0004１３２人目の素数さん

2009/02/01(日) 23:35:46

超準解析
よろすく!

00051

2009/02/01(日) 23:39:59

>>3
あぁごめそ

0006１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 00:02:01

キースラーの無限蒋介石を

・・・ATOKが面白い変換をしたのでここでやめる

0007１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 00:09:55

誤変換表には入れませんです。。。

0008１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 02:19:36

f(x)≦g(x)ならlim f≦lim gとか
∃a(x>a→f(x)=g(x))となるならlim f=lim gとか
x→aでf(x)→bならlim[x→a]g(f(x))=lim[x→b]g(x)とか
あと多変数関数での極限も暗に使ってそうだな

0009１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 02:51:33

高校生にそんな感じでやらせるメリットがあるかなあ

どうせなら実数の連続性にさらっと触れて
それで厳密にやったような気分にさせるぐらいは
そこそこやる気のある生徒が集まったクラスならできなくもない

0010１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 03:05:04

高校生にやらせる必然性が分からん。
直感的な扱いが原因で高校生が混乱するとか、頭が悪いという原因以外でそういう例でもあるのか？

0011KingGold ◆3waIkAJWrg

2009/02/02(月) 09:05:25

ところで、はさみうちの原理は何故「はさみうち」なのか。
はさみこみではないか。

0012粋蕎<ｲｯｷｮｳ> ◆C2UdlLHDRI

2009/02/02(月) 10:01:07

それは只の拘り過ぎ

0013１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 15:47:32

ご覧のありさまだよというコテが寄ってきおったな

0014Gauss ◆Gauss//A.2

2009/02/02(月) 19:03:55

Re:>>13 どうしろという。

0015１３２人目の素数さん

2009/02/02(月) 20:43:17

>>11
日本語が不自由なkingにはわからないのだろう。

0016１３２人目の素数さん

2009/02/18(水) 13:48:58

>>1、さっさと続き書け

0017１３２人目の素数さん

2009/02/18(水) 14:29:12

>>16
「海老で鯛を釣る」という諺を知ってるか？

0018１３２人目の素数さん

2009/02/18(水) 14:39:37

>>17
えびは持ってない

0019１３２人目の素数さん

2009/04/25(土) 11:32:29

530

0020１３２人目の素数さん

2009/06/22(月) 01:39:22

663

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