>>74
以前ブルバキの演習にあったのをやったことがある（代数第7章§3の演習8）。
証明の概略は以下のとおり。
(0) I が可算のときに示せば十分（∵Z 上の自由加群の部分加群は自由だから）。
以下I=N（自然数の集合）とする。
(1) Z^N は可算基底をもち得ない（∵濃度の計算より）。
(2) p を勝手にとった素数とし、Z^N の次のような部分加群 S を考える。
S = {(z_n) ∈Z^N | 自然数の増加列 k(n) が存在して、すべての n で z_n が p^k(n) の倍数}｡
このとき Z/pZ ベクトル空間 S/pS (＝ S と Z/pZ のテンソル積） の次元の濃度は可算。
(3) 一方、 φ: Z^N → S、φ((x_n)) = (x_n p^n) なる単射準同型が存在する。
Z^N が自由加群だとすると、部分加群Sも自由だから、(1)、(2)より矛盾。

Zを一般の単項イデアル整域に置き換えても、同じ事がほぼ同じ証明でいえる。