よろしくお願い致します。

Z_6={0mod6,1mod6,…,5mod6}は外部直和分解Z_3(+)Z_2={(0mod3,0mod2),(0mod3,1mod2),…,(2mod3,1mod2)}に同型だが
内部直和分解Z_3×Z_2には同型でない。そもそもZ_3×Z_2は群をなさない。

という事を知ったのですがZ_3×Z_2は何の2項演算をもって非群であると言ってるのでしょうか?

また,Z_m(+)Z_nもZ_m×Z_nも両方とも群をなす例ってあるのでしょうか?
もしあればご紹介ください。