UFDの部分環がUFDになるとは限りませんか？

もうひとつ
A:UFD, S⊂A：部分環, π∈S：Aの中で既約元.
このとき、S∩πA=πSになるとは限らないでしょうか？

どなたか教えて頂けると大変嬉しいのですが。