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物理や化学で有効桁を使うのは、
主に測定データの精度を意識しているから。

どんなに厳密に測定しても、
実験誤差や測定誤差が必ず含まれる。
その誤差の範囲を抑えた上で、
どの程度の精度まで議論できるか考えながら計算を進める必要がある。

有効桁３桁しか保証されない測定値を使って、
100桁計算してもそんな数字は無意味でしょ。
というより、そんなことをすると、
そんな桁まで精度があるように誤解されるので、
よくないと考えられている。
物理や化学でそんなことをすると馬鹿にされるよ。

一方、厳密な数学でも近似はつかう。
解析学は、極限や収束を議論するので、
近似の概念は絶対に必要。

有効桁の話は、解析学の近似の話とはちょっと違うので、
わけて議論した方がいいと思う。