x^2+1で割ると3x+2余り，x^2+x+1で割ると2x+3余るようなxの多項式のうちで，
次数が最小のものを求めよ

という問題ですが（赤チャートⅡ例題４９）、
多項式P（x)を４次式(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの商をQ（x）,余りを
R(x)とすると、P（x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q（x）+R(x)が成り立つ。R(x)は３次以下または0
P（x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りはR(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りに
それぞれ等しいから、求める多項式はR(x)である。
との説明がありますが、
①なぜいきなり割る式どうしを掛けるのか
②なぜP（x)という多項式をわざわざ作らないといけないのか
③なぜR(x)を条件の割る式で割ったものが，求める多項式になるのか
がわかりません。どなたかよろしくお願いします。