ＢＣを求める。

ＣからＢＤに引いた垂線とＢＤの交点をＰとおく

△ＰＤＣは１、√３、２の直角三角形。
△ＰＢＣは１、１、√２の直角三角形。

ＰＤ＝tとすると、
ＰＣ＝ＰＢ＝√３tだから
ＢＣ＝√６tとなる。

ＢＤ＝（1＋√３）t。
またＢＤ＝ＡＤ。
ＡＤ＝２√６/３。

よって
t＝（3√2−6）/3。

代入して、
ＢＣ＝２√３−３。

もっと簡単な方法があるはずだが。。。