>>50
まず、次の条件を満たす２つの数aとbがあったとするわな。
　a+b=α
　ab=β

適当な整数nがあって、cとdを次のように定義する。
　c=a+n
　d=b-n

わかるか？　和のαを保つように、aとbの間でnだけやりとりした数だ。
で、このcとdの積を考える。
　cd=(a+n)(b-n)
　　=ab-(a-b)n-n^2

ab=βだから、-(a-b)n+n^2の部分がうまく0になるようなnが見つかれば、
おまえのいうような「足してα、かけてβになるような別の組み合わせ」が作れたことになる。
じゃあ、そんなnが存在するか方程式を解いてみよう。こいつは2数の和と積なんか気にせずに因数分解ができる。nでくくればいい。
　n^2+(a-b)n=0
　n(n+a-b)=0
　n=0,-a+b

nの正体は0または-a+bだ。それぞれcとdがどんな数になるか見てみよう。

n=0の場合
　c=a+0=a
　d=b-0=b
n=-a+bの場合
　c=a+(-a+b)=b
　d=b-(-a+b)=a

というわけだ。残念ながら、aとbが入れ替わるだけで、新しい数にはならなかった。よって、他の組み合わせは作れない。