漸化式についての質問なんですけど、例えば
a(1)=3
a(k+1)=3･a(k)-2…(#)
で表される数列の一般項を求めるとき、

(#)より
a(k+1)-1=3{a(k)-1}…☆
∴a(n)-1=3^(n-1){a(1)-1}=2･3^(n-1)…★
∴a(n)=2･3^(n-1)+1

という流れで解きますよね。
それで、☆での変数kはダミー変数で、★で使うnとは違うものだということがよくわかりません。
何がどう違うのでしょうか。
教えてください。