数列１、2/3、3/3^2、4/3^2、・・・の第n項までの和を求めよ。

S[n]=1+2/3+3/3^2+4/3^3+・・・+3^(n-1)/n
1/3=xとおく
=1+2x+3x^2+4x^3+・・・+nx＾(n-1)
xS[n]=x+2x^2+3x^3+・・・(n-1)x^（n-1)+nx^n

S[n]-xSn[n]
=(1-x)S[n]=1+x+x^2+・・・x＾(n-1)-nx＾n
=1・(1-x^n)/1-x 　-nx＾n　
x=1/3≠1より
S[n]={1-x^n-nx^n(1-x)}/(1-x)^2=1-(n+1)x^n+nx＾(n+1)/(1-x)＾2
よって、x=1/3を代入すると

S[ｎ]={1-(n+1)(1/3)^n+n(1/3)＾(n+1)}/(1-1/3)^2
　　　=4/9{1-(2n+3)/3^(n+1)}

＞S[ｎ]={1-(n+1)(1/3)^n+n(1/3)＾(n+1)}/(1-1/3)^2
　　　　　　↓
＞　　　=4/9{1-(2n+3)/3^(n+1)}

の計算方法が分からないので教えてください